2D点，转换为3D，然后返回2D

Question

图1：我在2d（CoreGraphics）的图层上绘制贝塞尔曲线，我有A点和B点。

图2：我可以将图层旋转大约70度。

图3：我想通过某种方式将图像从3D压缩回2D，从而知道A和B点现在是什么。

我理想地想要做的是这样的一个函数：

-(CGPoint)calculateNewPointFrom:(CGPoint)p withAngle:(float)angle
{
    //Rotate point by angle in 3d space
    //Return new point in 2d space
}

欢迎所有帮助。 谢谢

Answer 1

如果您在3D中具有点Q坐标：（x，y，z）

您想将其投影到包含点P且具有法向向量n的平面上，

飞机的方程是

(R - P) . n = 0

我在哪里使用向量减法，以及. 是点积。

由此可以推断出任何点在该平面上的投影：沿着法线向量n画一条线，直到与平面相交为止。

所以会有一定的价值a这样

Q + a * n 

躺在飞机上，即

(Q - a * n - P) . n = 0

求解a（注意n . n = 1 ）：

a = (Q - P) . n

（注意-这是从Q到P的“正常距离”；不是巧合！）

它们相交的点的值现在是

Q + ((Q - P) . n ) * n

再次注意-我正在使用向量数学，因此最后*n结果为三个值（因为n是3D向量）。

如果要在平面上进行非法线投影（例如，要在XY平面上投影，但您正在“成角度看”），则可以将其概括化。 在这种情况下，您需要沿另一个方向m（您正在看的方向）进行投影，交点的等式变为

Q + ((Q - P) . n ) * m / (m . n)

如您所见，如果m与n垂直（您是沿着平面而不是平面看），则没有解...

您还可以看到，如果直接在XY平面上进行投影，则n = [0 0 1]），整个过程简化为设置Z = 0

让我知道这是否足够，或者您是否需要实际的代码行...

---编辑---添加一些简单的代码：

如果您有描述曲线的一系列点（x，y），则可以通过以下方式绕Z轴（垂直于平面）旋转角度θ：

x1 = x * cos(theta) - y * sin(theta);
y1 = x * sin(theta) + y * cos(theta);

现在，您可以“压缩”这些点，从而看起来是通过简单地减小y坐标从侧面查看它们：

x2 = x1;
y2 = y1 * cos(alpha);

其中alpha是您从曲线看的视在角度。 因此，如果您直接向下看XY平面，则alpha为0，并且y2 = y1 。 如果您看一下45度，则alpha为pi/4 ， y2 = 0.707 * y1 （大约）。

您可以将这两个转换合并为：

xnew = x * cos(theta) - y * sin(theta);
ynew = cos(alpha) * (x * sin(theta) + y * cos(theta));

尝试使用几个theta值（0到0.5之间，以0.1为步长）和alpha值（相似的范围可能很好）。 看看您是否喜欢结果。

也许这对您来说是一个更好的答案（就“更有用”而言）？