有效地查找未排序列表前缀的顺序统计信息？

Question

A是以随机顺序从1到n的整数数组。

我需要在至少日志时间内随机访问第一个j元素的第i个最大元素。

我想出来的，到目前为止是nxn矩阵M ，其中的元素(i, j)位置是i个最大的第一j 。 这给了我恒定的随机访问，但需要n^2存储。

通过构造， M按行和列排序。 此外，每列与其邻居的区别在于单个值。

任何人都可以建议一种方法来将M压缩到n log(n)空间或更好，具有log(n)或更好的随机访问时间？

Answer 1

我相信你可以在O（log（N））时间内执行访问，给定O（N log（N））预处理时间和O（N log（N））额外空间。 这是如何做。

您可以扩充红黑树以支持select(i)操作，该操作在O（log（N））时间内检索排名i处的元素。 例如， 请参阅此PDF或“ 算法简介”的相应章节。

您可以以功能方式实现红黑树（甚至一个扩充以支持select(i) ），以便插入操作返回一个新树，该树与旧树共享除O（log（N））节点之外的所有节点。 例如，参见Chris Okasaki的Purely Functional Data Structures 。

我们将构建一个纯函数增强红黑树的数组T ，这样树T[j]存储从最大到最小排序的A的前j元素的索引0 ... j-1 。

基本情况：在T[0]创建一个只有一个节点的增强红黑树，其数据为数字0，它是数组A的前1个元素中第0个最大元素的索引。

归纳步骤：对于从1到N-1每个j ，在T[j]通过纯函数将具有索引j的新节点插入到树T[j-1]创建增强的红黑树。 这最多创建了O（log（j））个新节点; 其余节点与T[j-1]共享。 这需要O（log（j））时间。

构造阵列T的总时间是O（N log（N）），并且使用的总空间也是O（N log（N））。

一旦创建了T[j-1] ，就可以通过执行T[j-1].select(i)来访问A的前j个元素的第i个最大元素。 这需要O（log（j））时间。 请注意，您可以在第一次需要时懒惰地创建T[j-1] 。 如果A非常大且j总是相对较小，这将节省大量的时间和空间。

Answer 2

除非我误解，否则你只是找到一个数组的第k个顺序统计数据 ，它是另一个数组的前缀。

这可以使用我认为称为“quickselect”的算法或沿着这些行的东西来完成。 基本上，它就像quicksort：

1. 随机转动
2. 交换数组元素，使所有较小的元素都在一侧
3. 您知道这是第p + 1个最大元素，其中p是较小数组元素的数量
4. 如果p + 1 = k，那就是解决方案！ 如果p + 1> k，则重复'较小'子阵列。 如果p + 1 <k，则在较大的'子阵列'上重复。

有一个（多）更好的描述在这里 ，如果你搜索的K次快速排序的解决方案下的Quickselect和更快的选择标题，也只是一般在互联网上。

虽然这个算法的最坏情况时间是像快速排序一样的O（n2），但如果你正确选择你的随机枢轴，它的预期情况要好得多（也像快速排序）。 我认为空间复杂度只是O（n）; 你可以只制作一个前缀副本来破坏订单。