再次浮点精度

Question

昨天我问一个问题，为什么我是在一个浮点运算精度损失。 我收到一个关于如何在x87寄存器中保存中间结果的答案。 这很有帮助，但有些细节仍在逃避。 这是我在上一个问题中提出的程序的变体，我在调试模式下使用VC ++ 2010 Express。

int main()
{
    double x = 1.8939201459282359e-308; /* subnormal number */
    double tiny = 4.9406564584124654e-324; /* smallest IEEE double */
    double scale = 1.6;
    double temp = scale*tiny;
    printf("%23.16e\n", x + temp);
    printf("%23.16e\n", x + scale*tiny);
}

这输出

1.8939201459282369e-308
1.8939201459282364e-308

根据IEEE标准，第一个值是正确的。 给scale变量值2.0可以为两个计算提供正确的值。 我知道第一次计算中的temp是一个次正规值，因此失去了精度。 我也理解scale*tiny值保存在x87寄存器中，该寄存器具有更大的指数范围，因此该值具有比temp更高的精度。 我不明白的是，当将值添加到x我们从较低的精度值中得到正确的答案。 当然，如果较低的精度值可以给出正确的答案，那么更高的精度值也应该给出正确的答案吗？ 这与“双舍入”有关吗？

在此先感谢，这对我来说是一个全新的主题，所以我有点挣扎。

Answer 1

关键在于，由于指数范围较大，这两个数字在x87表示中不是次正规的。

在IEEE754表示中，

x    = 0.d9e66553db96f × 2^(-1022)
tiny = 0.0000000000001 × 2^(-1022)

但在x87表示中，

x    = 1.b3cccaa7b72de × 2^(-1023)
tiny = 1.0000000000000 × 2^(-1074)

现在，当在IEEE754表示中计算1.6*tiny时，它被舍入到0.0000000000002 × 2^(-1022)因为这是与数学结果最接近的可表示数字。 将其添加到x导致

  0.d9e66553db96f × 2^(-1022)
+ 0.0000000000002 × 2^(-1022)
-----------------------------
  0.d9e66553db971 × 2^(-1022)

但在x87表示中， 1.6*tiny变为

1.999999999999a × 2^(-1074)

当它被添加

  1.b3cccaa7b72de × 2^(-1023)
+ 0.0000000000003333333333334 × 2^(-1023)
-----------------------------------------
  1.b3cccaa7b72e1333333333334 × 2^(-1023)

结果四舍五入为53位有效位

  1.b3cccaa7b72e1 × 2^(-1023)

使用有效数字1中的最后一位。如果然后将其转换为IEEE754表示（其中有效数据中最多可包含52位，因为它是一个次正规数），因为它恰好位于两个相邻可表示数字之间的0.d9e66553db970 × 2^(-1022)和0.d9e66553db971 × 2^(-1022)默认情况下，舍入到有效数为零的最后一位。

请注意，如果FPU未配置为仅使用53位有效数字，而是使用x87扩展精度类型的完整64位，则添加的结果0.d9e66553db971 × 2^(-1022)接近IEEE754结果0.d9e66553db971 × 2^(-1022)因此四舍五入。

实际上，由于x87表示具有较大的指数范围，因此即使在有效数字中的位数有限，IEEE754-次正规数的有效数也比IEEE754表示更多。 因此，计算结果在x87中比IEEE754中有一个更重要的位。