在n个变量中查找单个线性方程的解，或者确定不存在解

Question

假设您有n个变量的线性方程。 我们的目标是要么确定没有整数解是可能的，或确定最小系数矢量， 对于一个整数解 。

换句话说，让ax=b ，其中x是您要查找的向量，而a是系数的向量。 b是标量常数。 找到x使得x1, ... ,xn的总和最小化，并且所有xi都是整数。 或者，确定不存在这样的x 。 从现在开始，我会说|x| 是xi的总和。

解决此问题的有效方法是什么？ 我觉得这类似于背包问题，但我不确定。

我的解决方案

我试图解决此问题的方法是在向量​​空间上进行宽度优先搜索，其中宽度将是向量条目的总和。

首先，我从|x| = 0开始天真地这样做|x| = 0 |x| = 0 ，但是当n甚至适中大且解非平凡时，生成的向量数量是巨大的（对于您经过的每个|x| n ^ |x| ）。 更糟糕的是，我生成了许多重复项。 即使我找到了一种几乎不生成重复项的方法，这种方法也太慢了。

接下来，我尝试从更高的|x| 从一开始，通过将下界设为最优|x| 。 我对a进行了排序，使其降序排列，然后删除了所有ai > b 。 然后|x|的下界 是b / a[0] 。 但是，从这一点来看，我很难快速生成所有大小为|x|的向量。 。 从这里开始，我的代码主要是hacky。

在代码中， b = distance ， x = clubs ， n = numClubs

看起来像这样：

short getNumStrokes (unsigned short distance, unsigned short numClubs, vector<unsigned short> clubs) {
    if (distance == 0)
        return 0;

    numClubs = pruneClubs(distance, &clubs, numClubs);
    //printClubs (clubs, numClubs);

    valarray<unsigned short> a(numClubs), b(numClubs);
    queue<valarray<unsigned short> > Q; 

    unsigned short floor = distance / clubs[0];

    if (numClubs > 1) {
        for (int i = 0; i < numClubs; i++) {
            a[i] = floor / numClubs;
        }

        Q.push (a);
    }

    // starter vectors
    for (int i = 0; i < numClubs; i++) {
        for (int j = 0; j < numClubs; j++) {
            if (i == j)
                a[j] = distance / clubs[0];
            else
                a[j] = 0;
        }

        if (dot_product (a, clubs) == distance)
            return count_strokes(a);

        // add N starter values
        Q.push (a);
    }

    bool sawZero = false;

    while (! Q.empty ()) {
        a = Q.front(); // take first element from Q
        Q.pop(); // apparently need to do this in 2 operations >_<

        sawZero = false;

        for (unsigned int i = 0; i < numClubs; i++) {
            // only add numbers past right-most non-zero digit
            //if (sawZero || (a[i] != 0 && (i + 1 == numClubs || a[i + 1] == 0))) {
            //    sawZero = true;

                b = a; // deep copy
                b[i] += 1;

                if (dot_product (b, clubs) == distance) {
                    return count_strokes(b);
                } else if (dot_product (b, clubs) < distance) {
                    //printValArray (b, clubs, numClubs);
                    Q.push (b);
                }
            //}
        }
    }

    return -1;
}

编辑：我正在使用valarray，因为我的编译器不符合C ++ 11，所以我不能使用数组。 其他代码建议，不胜感激。

Answer 1

您的问题是等式约束整数背包问题：

min |x|
s.t. ax = b
     x integer

如果有访问权限，CPLEX或GUROBI通常可以很容易地解决此类问题。

否则，请考虑减少约束集

（例如， http : //www.optimization-online.org/DB_FILE/2002/11/561.ps ）