计算任何一组间隔未涵盖的最小正整数

Question

几个星期前有人在这里发布了这个问题，但是在没有事先研究的情况下看起来非常像家庭作业，并且在得到一些downvotes之后，OP立即删除了它。

问题本身相当有趣，而且我一直在考虑它一周而没有找到令人满意的解决方案。 希望有人可以帮忙吗？

问题如下： 给定N个整数区间的列表，其边界可以取0到N³任何值，找到最小的整数i ，使得i不属于任何输入区间。

例如，如果给出列表[3,5] [2,8] [0,3] [10,13] （N = 4），则算法应返回9 。

我能想到的最简单的解决方案是在O(n log(n)) ，包括三个步骤：

1. 通过增加下限对时间间隔进行排序
2. • 如果最小下界> 0，则返回0;
   • 否则重复合并第一个间隔和第二个间隔，直到第一个间隔（比如[a, b] ）不接触第二个间隔（比如说[c, d] ） - 也就是说，直到b + 1 <c，或者直到只有一个间隔。
3. 返回b + 1

这个简单的解决方案在O(n log(n)) ，但原始海报写道该算法应该在O(n)运行。 如果间隔已经排序，这是微不足道的，但OP提供的示例包括未排序的间隔。 我想这肯定与N³绑定有关 ，但我不确定是什么......哈希？ 线性时间排序？ 欢迎提出想法。

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这是上述算法的粗略python实现：

def merge(first, second):
    (a, b), (c, d) = first, second
    if c <= b + 1:
        return (a, max(b, d))
    else:
        return False

def smallest_available_integer(intervals):
    # Sort in reverse order so that push/pop operations are fast
    intervals.sort(reverse = True)

    if (intervals == [] or intervals[-1][0] > 0):
        return 0

    while len(intervals) > 1:
        first = intervals.pop()
        second = intervals.pop()

        merged = merge(first, second)
        if merged:
            print("Merged", first, "with", second, " -> ", merged)
            intervals.append(merged)
        else:
            print(first, "cannot be merged with", second)
            return first[1] + 1

print(smallest_available_integer([(3,5), (2,8), (0,3), (10,13)]))

输出：

Merged (0, 3) with (2, 8)  ->  (0, 8)
Merged (0, 8) with (3, 5)  ->  (0, 8)
(0, 8) cannot be merged with (10, 13)
9

Answer 1

详细阐述@ mrip的评论：你可以在O（n）时间内使用你所描述的精确算法，但改变排序算法的工作方式。

通常，基数排序使用基数2：基于它们的位是0还是1，将元素分成两个不同的桶。每轮基数排序需要时间O（n），并且每个位的最大数量有一个回合。 调用最大的nunber U，这意味着时间复杂度为O（n log U）。

但是，您可以将基数排序的基数更改为其他基数。 使用基数b，每个轮次花费时间O（n + b），因为花费时间O（b）来初始化和迭代桶，并且花费O（n）时间将元素分配到桶中。 然后有log _b U轮。 这给出了O（（n + b）log _b U）的运行时间。

这里的技巧是，由于最大数量U = n ³ ，你可以设置b = n并使用base-n基数排序。 轮数现在是log _n U = log _n n ³ = 3并且每轮需要O（n）时间，因此对数字进行排序的总工作量是O（n）。 更一般地，对于任何k，您可以在时间O（kn）的[0，n ^k ]范围内对数字进行排序。 如果k是固定常数，则为O（n）时间。

结合您的原始算法，这解决了时间O（n）的问题。

希望这可以帮助！

Answer 2

另一个想法是以某种方式使用这些间隔的补充。 假设C（）给出了一个区间的补码，例如C（[3,5]）将是小于3的整数和大于5的整数。如果最大数是N ^ 3，那么使用模N ^你可以将3 + 1表示为另一个区间[6，（N ^ 3 + 1）+2]。

如果您想要一个不属于任何原始间隔的数字，则在这些间隔的所有补充中应该存在相同的数字。 然后归结为编写一个函数，可以计算任何两个这样的“补充区间”的交集。

我没有实现这个想法，因为我的笔和纸图纸表明在计算这样的交叉点时需要考虑的情况比我想象的要多。 但我认为这背后的想法是有效的，它会导致O（n）算法。

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进一步思考，最糟糕的情况是使事情比我原先想象的更复杂。