最小跨度图-负权重和正权重

Question

我无法理解MST是否为树。

假设给定一个图G =（V，E），则连接V中所有顶点且总权重最小的边T⊆E的任何子集T必须是树，或者在以下情况下可以是其他子图：负重。 -所有边缘的重量均为正。

我认为对于某些可能具有负权重的边，它必须是一棵树，对于所有边缘均具有正权重的边，它可以是其他子图。

如果我正确或错误，请帮助我。

如果一定是一棵树，您能解释一下连通性和最小性之间的矛盾吗？ 但是，如果您认为它可能是其他子图，那么可以给我展示一个示例，其中可能不是树的连接图的权重较低。

Answer 1

如果权重为负，则不能保证“最小跨度” 子图是一棵树。 考虑一个3个顶点的完整图，所有边的权重为-1。

编辑误会了您的问题：

如果负重：它可能不是一棵树

所有权重都是非负的（> = 0）：有一个最小的生成树，但是可能还有另一个不是树，并且具有相同的权重之和。

所有权重均为正（> 0）：这是一棵树。

Answer 2

最小生成树/林（MST / F）与最小生成图（MSG）之间存在差异。

最小生成图（MSG） ：连接图G的所有连接组件中的所有节点，从而使总成本最小。

对于非负成本 ，MSF等于MSG。

例如，图G为三角形，每条边的成本为1。 MSG将在2个边缘上连接3个顶点。 这与使用Kruskal，Prim或Boruvka算法计算G所获得的MSF相同。

对于负成本 ，MSF可能不等于相应的MSG，而且MSG并不总是MSF。

例如，图G为三角形，每条边的成本为-1。 味精将利用所有优势，因为它将降低总体成本。 因此，您将获得一个周期。 根据定义，一棵树或森林不包含循环。 使用肯定成本，您将永远不会在MSG中获得一个周期，因为添加一条产生周期的边总是会增加MSG的总体成本。 用Kruskal，Prim或Boruvka计算G将返回MSF。

Answer 3

一些事实足以回答您的问题：

1. 如果T是连接所有顶点的边的子集，则T不一定是树。
2. 如果T是连接所有顶点的边的子集，并且T使权重之和最小，那么我们知道：
   • T不一定是唯一的。
   • T始终包含形成树的边的子集。 （“关联性”）
   • 如果所有权重严格都为正，则T是一棵树。 （“最小”）
3. 以最小的权重总和找到一些T与找到MST一样容易：
   • 找到一些MST（例如，使用Kruskal或Prim算法）。
   • 添加所有负负边。

最小化权重的子集T的一个简单例子是对于图G =（V，E），其中所有边的权重为-1，则T为E.