在O（n）中对m个总共O（n）个元素进行排序

Question

假设我们有m个{1...n}中元素的集合S1,S2,...,Sm ，假定m = O（n）， |S1|+|S2|+...+|Sm|=O(n)对O（n）时间和O(n)空间中的所有集合进行排序。

我当时正在考虑在每个集合上使用计数排序算法。 每个集合的计数排序将为O(S1)+O(S2)+...+O(Sm) < O(n) ，因为在最坏的情况下，如果一个集合由n个元素组成，它将仍然取O（ N）。

但是它将解决问题并且仍然坚持只使用O（n）空间吗？

Answer 1

您的方法不一定会在O（n）时间内起作用。 假设您有n个元素集，每个元素仅包含n个元素。 然后，每次计数排序迭代将花费时间Θ（n）来完成，因此总运行时间将为Θ（n ² ）。

但是，您可以使用修改后的计数排序来解决此问题，方法是同时对所有集合进行有效的计数排序。 创建一个长度为n的数组，用于存储数字列表。 然后，遍历所有集合，对于每个元素，如果值是k并且集合数是r，则将数字r附加到数组k。 此过程实质上建立了集合中元素分布的直方图，其中每个元素都用其来源的集合进行注释。 然后，使用类似于计数排序的逻辑对数组进行迭代并按排序顺序重构集。

总的来说，该算法花费时间Θ（n），因为初始化数组需要花费时间Θ（n），分配元素需要花费的时间为O（n），分配给元素的时间为O（n）。 它也仅使用Θ（n）空间，因为总共有n个数组，并且在所有数组中总共有n个元素分布。

希望这可以帮助！