稳定婚姻的变化 - 是否总有稳定的“解决方案”？

Question

以下问题来自Jon Kleinberg和ÉvaTardos的“算法设计”，第1章，练习3.我尽可能地缩短了描述（括号中的注释或引用块之外）

假设我们有两个电视网络，我们称之为A和B 有n黄金时段编程插槽，每个网络有n电视节目。 每个网络都想制定一个时间表 - 将每个节目分配到一个不同的时段 - 以便尽可能多地吸引市场份额。 [...]每个节目都有固定的评级[...]; 我们假设没有两个节目具有完全相同的评级。 如果为该时隙调度的节目具有比显示该时隙的其他网络调度的更大的评级，则网络赢得给定的时隙。 目标是赢得尽可能多的时间段。

我们从每个网络获得一个季节的时间表，因此第一个网络给我们一个时间表s ，第二个网络给我们一个时间表T

[...]如果两个网络都不能单方面改变自己的时间表并赢得更多的时间段，我们会说这对时间表（S，T）是稳定的 。

也就是说，没有可以给第一网络更多时隙的调度S' ，并且对于第二网络也没有类似的调度T' 。

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[问题是]： 对于每组电视节目和收视率，是否总有一对稳定的时间表？

我的直觉告诉我不 ，因为我可以想象稳定时间表的问题的唯一例子是当第一个网络的最佳节目仍然比第二个网络的最差节目更差时，即当一个网络可以赢得所有时间表时。 否则我认为一个网络可以交换两个条目以赢得更多的插槽，而另一个网络可以改变其时间表，以便它一直赢回这些插槽。

Answer 1

并不总是能够达到稳定的解决方案，但我想如果排名符合某个标准，我可能有办法保证存在稳定的案例。

例如，一个（平凡）稳定的情况是当一个网络的所有节目具有平均评级并且另一个网络的所有节目具有极高或低排名时，则网络可以通过交换调度中的时隙来完成任何事情。
例如：
A = {45,50,59,60}
B = {1,3,90,92}
我认为你可以概括这个想法，以达到一系列稳定案例的特征。

Answer 2

嗯，是的，我的直觉是对的。 当n = 2时，很容易想象一个反例。

比如说，我们为每个网络都有两个节目。 第一个网络的节目的评级是10, 20而第二个节目的节目的评级是15, 25 。

所以，我们有这个时间表：

slot 1: A: 10, B: 15  # B wins
slot 2: A: 20, B: 25  # B wins

现在B赢得所有位置。 A会想要更改计划以获得至少一个插槽。 所以新的时间表是：

slot 1: A: 20, B: 15  # A wins
slot 2: A: 10, B: 25  # B wins

现在B改变其时间表以赢回所有时段......