如何在lambda演算中实现LISP的`EQ`？

Question

这些天，我正在学习lambda演算，并发现它非常漂亮和有趣，但是我还没有找到如何实现LISP的EQ原语的方法，该原语判断两个符号是否相同。

我发现了许多用于实现整数算术（使用教堂数字）和布尔逻辑的材料，但未能找到EQ的解决方案。 我希望EQ像这样工作（与LISP相同）：

(EQ x x) --> True
(EQ x y) --> False
(EQ (x y) (x y)) --> False // return true only for simple symbols, not structures

任何帮助。

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更新：

我不介意将符号包装到某些上下文中，例如：

(EQ (lambda u . u symbol x) (lambda u . u symbol x)) --> True
(EQ (lambda u . u symbol x) (lambda u . u symbol y)) --> False

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我找到了一种可能的解决方案：

如果我们将符号限制在一个有限集中，例如Symbols = {A, B, C} ，那么我们可以这样定义一个EQ ：

A = λ A B C. A
B = λ A B C. B
C = λ A B C. C
EQ = λ x y. ChurchEQ (x 1 2 3) (y 1 2 3)    // Here 1, 2, 3 should be replaced by Church Numbers

我已经在解释器中测试了这些代码，并且可以正常工作。

但是仍然存在一个问题：不能将EQ本身放在Symbols 。

Answer 1

在lambda演算中，无法为任意术语定义一般的平等概念。 根据实现的不同，将EQ定义为语法相等（可能高达α-相等）或指针相等，这些必须在解释器的实现中定义，而不是在语言本身中定义。

就是说，在许多情况下，都有特定的 Lambda表达式（即教堂数字，教堂布尔值），其中存在定义明确的确定相等性的决策程序，该过程当然可以在Lambda微积分中进行编码，就像可以在任何语言中进行编码一样。 例如布尔值：

T = λ x y. x
F = λ x y. y
not = λ p. p F T
xor = λ p q. p (q F T) q
equ = λ p q. not (xor p q)