转换列表的平均转换矩阵

Question

我对转换矩阵有多个估计，从通过ICP（迭代最近点）将两个点云映射到彼此。

如何为所有这些矩阵生成平均变换矩阵？

每个矩阵只包含一个刚性平移和一个旋转，没有缩放或倾斜。

理想情况下，我还想计算加权平均值，但目前未加权的平均值还可以。

平均平移向量当然是微不足道的，但旋转是有问题的。 我发现的一种方法是平均旋转的各个基向量，但我不确定这会产生新的正交基，而且这种方法似乎有点临时。

Answer 1

在平移和旋转中拆分变换是一个好的开始。 平均翻译是微不足道的。

平均旋转不是那么容易。 大多数方法将使用四元数。 所以你需要将旋转矩阵转换为四元数。

近似平均值的最简单方法是线性混合，然后是四元数的重整化：

q* = w1 * q1 + w2 * q2 + ... + w2 * qn
normalize q*

然而，这只是一个近似值。 这样做的原因是两个旋转的组合不是通过添加四元数来执行的，而是通过将它们相乘来执行的。 如果我们将四元数转换为对数空间，我们可以使用简单的线性混合（因为乘法会变成加法）。 然后将四元数变换回原来的空间。 这就是球面平均的想法（Buss 2001）。 如果幸运的话，您会发现一个支持四元数的 log 和 exp 的库：

start with q* as above
do until convergence
    for each input quaternion i (index)
        diff = q[i] * inverse(q*)
        u[i] = log(diff, base q*)
    //Now perform the linear blend
    adapt := zero quaternion
    weights := 0
    for each input quaternion i
        adapt += weight[i] * u[i]
        weights += weight[i]
    adapt *= 1/weights
    adaptInOriginalSpace = q* ^ adapt    (^ is the power operator)
    q* = adaptInOriginalSpace * q*

您可以为adaptInOriginalSpace定义一个阈值。 如果它是一个非常非常小的旋转，你可以打破循环。 该算法被证明可以保留球体上的测地距离。

Answer 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation和http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Quaternion会给你一些优雅的数学和一种将旋转矩阵变成旋转角度的方法旋转轴。 每次旋转都有两种可能的表示，旋转角度和旋转轴都有不同的符号。

您可以转换所有内容并将它们归一化为具有 +ve 旋转角度，然后计算平均旋转角度和平均旋转轴，将其重新归一化为单位向量。

OTOH 如果您的目的是计算出最准确的转换估计，您需要写下任何候选转换的拟合优度的一些度量 - 平方误差的总和通常在数学上很方便 - 然后解决优化问题找出哪种变换使误差平方和最小。 这至少比取个别容易出错的估计的平均值更容易证明，并且可能更准确。

Answer 3

如果您有一个现有的 lerp 方法，那么有一个简单的解决方案：

count = 1
average_transform = Matrix.Identity(4)
for new_transform in list_of_matrices:
    factor = 1/count
    average_transform = lerp(average_transform, new_transform, factor)
    count += 1

这只是有用的，因为有更多的数学包具有 lerp 矩阵的能力，而不是对它们进行平均。

因为我没有在其他地方遇到过这种方法，所以这里有一个非正式的证明：

• 如果有一个矩阵，则仅使用该矩阵（第一个矩阵的因子将等于 1）
• 如果有两个矩阵，我们需要第二个矩阵的 50%（第二个因子是 50%，所以我们在现有的第一个矩阵和新的矩阵之间移动一半）
• 如果有三个矩阵，我们需要每个矩阵的 33%，或者前两个矩阵的平均值的 66% 和第三个矩阵的 33%。 0.3333 的 lerp 因子实现了这一点。

等等。

我还没有对矩阵进行过广泛的测试，但我已经成功地将其用作其他数据类型的滚动平均值。

Answer 4

这里可以使用奇异值分解 (SVD)。

取旋转矩阵之和的SVD，然后平均旋转矩阵简单地由Ravg = UV'给出。

Answer 5

“sdfgeoff”我无法在您的回答中发表评论，因为我是新来的，但我认为您是最正确的。 顺便说一下，美丽而优雅的解决方案。 如果您使用带有四元数的球面线性插值 (SLERP) 而不是线性插值 (LERP) 将是完美的，因为映射旋转的四元数（具有范数 1 的四元数）在 4D 中定义了一个球体，然后在两者之间进行插值实际上是在两点之间进行插值在一个球面上。

根据我在点云注册方面的经验，我想说这行不通。 ICP 不会在正确旋转的情况下返回随机旋转。 您需要使用更好的算法来注册点云（全局注册算法，如 FPFH、4PCS、K4PCS、BSC、FGR 等）。 或者对转换进行更好的初始猜测。 ICP 只会给你完全错误的旋转（当卡在局部最小值时）或几乎完美的旋转，当用良好的初始转换初始化时。 结论：求平均值是行不通的。