3D广告牌子画面背后的数学是什么？ （原为：3D转换矩阵到2D矩阵）

Question

我在太空中有一个3D点。 点的确切方向/位置通过4x4转换矩阵表示。

我想在此处绘制一个广告牌（3D Sprite） 。 我知道该点的投影位置 （即3D-> 2D）； 广告牌正对着镜头，这也非常有帮助。 我不知道的是广告牌应具有的缩放比例！

为了使事情变得更复杂， 4x4矩阵可能具有各种变换：3D旋转，3D缩放，3D转置。 假设摄像机尽可能简单：位于（0,0,0），不旋转。

那么，我可以从这个4x4矩阵中“提取”广告牌精灵的缩放比例吗？

--

是：

我有一个3D仿射变换4x4矩阵。 我需要将其（项目）转换为2D仿射变换3x3矩阵，如下所示：

3D旋转无关紧要，如果存在，则可以将其丢弃； 我只对翻译感兴趣，最重要的是缩放。

谁能为六个 4个值中的每个值提供方程式帮助？ （也可以说t _x ，t _y ）

附加信息：

Matrix3D是3D点（例如（0,0,0））的全局转换。 其目的是投影在2D平面（计算机屏幕）上。

我知道如何将3D点投影到2D空间，我正在寻找的是保留除位置之外的其他变换信息，即缩放 ：如您所知，将点投影到2D平面上时， 缩放属性也会改变。

我也忘记提及透视投影属性也是已知的，即：

field of view (single value)
focal length (single value)
projection center (viewpoint position - 2D value)

Answer 1

如果不使用球面坐标系，则此任务无法解决，因为在投影之前丢弃Z坐标会删除到投影点的距离，因此您不知道如何应用透视图。

您有两种选择（除非我忽略了某些内容）：

1. 应用3D变换矩阵

   然后仅使用x，y-结果的坐标

2. 创建用于旋转/投影的3x3变换矩阵

   并在应用之前或之后添加偏移量矢量。 请注意，这种方法不使用同质坐标！

[Edit1]方程式更加清晰

不要忘记3x3矩阵+向量变换不是累积的！ 这就是为什么使用4x4转换的原因。 现在您可以扔掉矩阵/向量(Xz,Yz,Zz), (z0)的最后一行，然后输出向量就是(x', y') 。 当然，此后您将无法使用逆变换，因为您丢失了Z坐标。

通过更改轴方向矢量的大小进行缩放

顺便说一句。 如果投影平面也是没有旋转的XY平面，则：

x' = (x-x0)*d/(z-z0)
y' = (y-y0)*d/(z-z0)

(x,y,z) -指向项目
(x',y') -投影点
(x0,y0,z0) -投影原点
d焦距

[Edit2]问题编辑完后含义完全不同

我假设您想让精灵始终面对相机。 它很丑陋，但简化了草，树，...

M您的矩阵
P - M内部的投影矩阵
如果您的原点M = (0,0,0)而没有旋转/缩放/偏斜，则M=P
pnt广告牌的点（我假设的中心）（ w=1 ） [GCS]
dx,dy广告牌的一半尺寸[LCS]
A,B,C,D广告牌的投影边缘[GCS]
[GCS] -全局坐标系
[LCS] -本地坐标系

1. 如果你知道投影矩阵

   我假设它是glFrustrum或gluPerspective ...然后：

    (x,y,z,w)=(M*(P^-1))*pnt // transformed center of billboard without projection A=P*(x-dx,y-dy,z,w) B=P*(x-dx,y+dy,z,w) C=P*(x+dx,y+dy,z,w) D=P*(x+dx,y-dy,z,w) 

2. 如果您的M矩阵过于复杂，无法让＃1正常工作

    MM=(M*(P^-1)) // transform matrix without projection XX=MM(Xx,Xy,Xz) // X - axis vector from MM [GCS](look at the image above on the right for positions inside matrix) YY=MM(Yx,Yy,Yz) // Y - axis vector from MM [GCS] X =(M^-1)*XX*dx // X - axis vector from MM [LCS] scaled to dx Y =(M^-1)*YY*dy // Y - axis vector from MM [LCS] scaled to dy A = M*(pnt-XY) B = M*(pnt-X+Y) C = M*(pnt+X+Y) D = M*(pnt+XY) 

[Edit3]仅缩放

MM=(M*(P^-1))      // transform matrix without projection
sx=|MM(Xx,Xy,Xz)|  // size of X - axis vector from MM [GCS] = scale x
sy=|MM(Yx,Yy,Yz)|  // size of Y - axis vector from MM [GCS] = scale y

Answer 2

比例矩阵S如下所示：

sx 0  0  0
0  sy 0  0
0  0  sz 0
0  0  0  1

转换矩阵T如下所示：

1  0  0  0
0  1  0  0
0  0  1  0
tx ty tz 1

Z轴旋转矩阵R如下所示：

 cos(a) sin(a)  0  0
-sin(a) cos(a)  0  0
   0      0     1  0
   0      0     0  1

如果您有一个转换矩阵M ，则它是R ， T和S矩阵多次相乘的结果。 从M ，这些乘法的顺序和数量是未知的。 但是，如果我们假设M=S*R*T则可以将其分解为单独的矩阵。 首先让我们计算S*R*T ：

        ( sx*cos(a) sx*sin(a) 0  0)       (m11 m12 m13 m14)
S*R*T = (-sy*sin(a) sy*cos(a) 0  0) = M = (m21 m22 m23 m24)
        (     0         0     sz 0)       (m31 m32 m33 m34)
        (     tx        ty    tz 1)       (m41 m42 m43 m44)

由于我们知道这是2D转换，因此获取翻译非常简单：

translation = vector2D(tx, ty) = vector2D(m41, m42)

要计算旋转和比例，我们可以使用sin(a)^2+cos(a)^2=1 ：

(m11 / sx)^2 + (m12 / sx)^2 = 1
(m21 / sy)^2 + (m22 / sy)^2 = 1

m11^2 + m12^2 = sx^2
m21^2 + m22^2 = sy^2

sx = sqrt(m11^2 + m12^2)
sy = sqrt(m21^2 + m22^2)

scale = vector2D(sx, sy)

rotation_angle = atan2(sx*m22, sy*m12)

资源

希望这对您有帮助