R中积极支持的函数的卷积

Question

我想要在[0,Inf)上定义的两个函数的卷积，比方说

f=function(x)
    (1+0.5*cos(2*pi*x))*(x>=0)

和

g=function(x)
    exp(-2*x)*(x>0)

使用RI的集成功能可以做到这一点，

cfg=function(x)
    integrate(function(y) f(y)*g(x-y),0,x)$value

通过搜索网络，似乎有更有效（更准确）的方法（比如使用fft()或convolve() ）。 任何有这种经历的人都可以解释一下吗？ 谢谢！

Answer 1

convolve或fft解决方案是获得离散结果，而不是你在cfg定义的函数。 他们可以在一些常规的离散输入上为您提供cfg的数值解决方案。

fft用于定期功能（仅限），因此无法提供帮助。 但是， convolve有一种称为“open”的操作模式，它模拟cfg正在执行的操作。

请注意，使用type="open" ，您必须反转第二个序列（请参阅?convolve ，“Details”）。 您还必须仅使用结果的前半部分。 下面是c(2,3,5)与c(7,11,13)卷积结果的图像示例，如convolve(c(2,3,5), rev(c(7,11,13)), type='open') ：

             2  3  5       2  3  5   2  3  5    2  3  5      2  3  5
      13 11  7         13 11  7     13 11  7      13 11  7        13  11  7
 Sum:       14              43         94           94            65

请注意，评估前三个元素与您的集成结果类似。 最后三个将用于反向卷积。

这是与您的功能的比较。 你的功能，矢量化，绘制

y <- seq(0,10,by=.01)
plot(y, Vectorize(cfg)(y), type='l')

并使用以下代码绘制convolve的应用程序。 请注意， y每单位间隔有100个点，因此除以100是合适的。

plot(y, convolve(f(y), rev(g(y)), type='open')[1:1001]/100, type='l')

这些并不完全一致，但卷积要快得多：

max(abs(Vectorize(cfg)(y) - convolve(f(y), rev(g(y)), type='open')[1:1001]/100))
## [1] 0.007474999

benchmark(Vectorize(cfg)(y), convolve(f(y), rev(g(y)), type='open')[1:1001]/100, columns=c('test', 'elapsed', 'relative'))
##                                                   test elapsed relative
## 2 convolve(f(y), rev(g(y)), type = "open")[1:1001]/100   0.056        1
## 1                                    Vectorize(cfg)(y)   5.824      104