如何获得命题逻辑中的“间接牵连”

Question

我正在尝试解决命题逻辑中一个我从未见过描述的问题。 我将其发布在这里，以查看是否有人对此有一个标准的解决方案。

问题：给定命题可满足的逻辑公式F和在命题F出现的命题p ，确定是否存在不包含 p的可满足命题公式phi使得

phi => (F => p)

如果是这样，请提供这样的phi。

为了直观，我将phi称为“ p wrt F的间接蕴涵”，因为它需要隐含p而不提及p。 相反，它提到了通过F影响p的其他命题。

这是一个例子，其中“ france”，“ lyon”，“ paris”和“ berlin”都是命题：

F is "paris => france and lyon => france and berlin => not france"

p is "france"

那么解phi是paris or lyon ，因为这意味着(F => france)

（更新：实际上精确的解决方案是(paris or lyon) and not berlin因为我们没有在任何地方声明这些主张互斥，所以paris和berlin （或lyon和berlin ）可能同时是真的，并暗示在具有适当背景知识的paris or lyon下，解决方案将简化为“ paris or lyon 。

它类似于为公式(F => p)找到一个蕴含量的问题，但是由于一个简单蕴含量可以包含p （实际上主要蕴含量只是p ），所以并不相同。

再次，我将其发布在这里，希望有更多经验的人看着它并说：“啊，但这只是问题之类的一个变种。” 那将是理想的，因为它将使我能够利用现有的算法（特别是可满足性）和概念。

另外，仅是为了获得更多信息，我实际上是在尝试解决相等逻辑（即命题是相等的命题逻辑）的问题。 这当然更复杂，但是命题案例可能是一个很好的垫脚石。

谢谢你的时间。

Answer 1

给出你的例子

F is "paris => france and lyon => france and berlin => not france"

p is "france"

其中F有4个语句：

F1 = paris
F2 = france and lyon
F3 = france and berlin
F4 = not france

通过简化含义=>可以分解F ：

F1-2: "paris => france and lyon" = "(not paris) or (france and lyon)"

F2-3: "france and lyon => france and berlin" = "(not france or not lyon) or (france and berlin)"

F3-4: "france and berlin => not france" = "(not france or not berlin) and (not france)"

如果我们通过F含义进行前向链接，我们将进行推理：

Reason(F): not (not (not F1 or F2) or F3) or F4

not (not (not paris or (france and lyon)) or (france and berlin)) or (not france)

因此，我们有以下解决方案：

S1: not france

S2: not (not (not F1 or F2) or F3):
     not (not (not paris or (france and lyon)) or (france and berlin))

接下来，我们可以评估p ：

p: france => france = TRUE

S1 = not france = not TRUE = FALSE ~ not applicable

S2 = not (not (not paris or (france and lyon)) or (france and berlin))

   = not (not (not paris or (TRUE and lyon)) or (TRUE and berlin))

   = not (not (not paris or lyon) or berlin)

   = not ((paris AND not lyon) or berlin)

   = not (paris AND not lyon) AND not berlin

   = not (paris AND not lyon) AND not berlin

   = (not paris OR lyon) AND not berlin

所以， p是TRUE在F你需要这些条件是TRUE ：

pF1 AND pF2:

pF1 = (not paris OR lyon) = (paris,lyon) in { (F,F), (F,T), (T,T) }

pF2 = not berlin => berlin = FALSE

Answer 2

这是我自己的解决方案。 我已经发布了这个问题，希望了解一种标准解决方案，但也许没有。

1. 将F转换为等效的DNF公式（析取范式），即，连接词F1 or ... or Fn析取式，其中每个Fi是一个连词。 连词从句是字面量的结合，其中字面量是命题或其否定词。 将公式转换为DNF是标准过程。

2. 对于每个析取Fi 。 它采用以下三种形式之一：

   • L1 and ... and Lmi and p
   • L1 and ... and Lmi and not p
   • L1 and ... and Lmi （其中不出现p ）。

   令inputs(Fi)为L1 and ... and Lmi ，而output(Fi)为true ， false和neutral 。

   直觉是，如果Fi是F的DNF中唯一的析取项，则如果inputs(Fi)成立，我们需要p拥有真值output(Fi) （ neutral意味着它可以以任何一种方式出现），以使F成立。

3. 当然，要抓住的是， Fi通常不会是唯一的分离。 对于没有输出为true的给定析取函数Fi ，可能会有一个ìnputs(Fj) and inputs(Fi)取ìnputs(Fj) and inputs(Fi) Fj具有不同的输出，从而使ìnputs(Fj) and inputs(Fi)都可以满足，也就是说，对Fi的输入也有一个满足Fj的赋值，因此在仍然满足F承认p为假。 因此，我们将输出为true G1, ..., Gk取G1, ..., Gk命名为输出false或neutral H1, ..., Hl G1, ..., Gk取H1, ..., Hl ，并将phi定义为

   \n （输入（G1）或...或输入（Gk））而不是（输入（H1）或...或输入（Hl））\n

然后phi是解决方案，因为它不包含p并暗示F => p 。 它不包含p因为它是由inputs定义的，不定义为不包含p 。 这意味着F => p因为它满足至少一个inputs(G_)且不满足任何一个inputs(H_) 。 这意味着，在F的DNF中的所有析取项中，只有Gi才有机会保持为真（已知除p以外的所有文字均已满足）。 因为它们都包含p ，所以如果F为真，那么p也必须成立。

让我们看看如何管理给出的示例。

DNF

paris => france and lyon => france and berlin => not france

是

(not berlin and france) or
(not lyon and not paris and not france)

因此，我们有

• G1等于not berlin and france
• H1等于not lyon and not paris and not france

所以

• inputs(G1) = not berlin
• inputs(H1) = not lyon and not paris

因此phi是

not berlin and not (not lyon and not paris)

相当于

(lyon or paris) and not berlin

解决方案not berlin的存在并不直观。 因为F承认berlin ， paris和lyon中的一个以上是同时存在的。 因此，在要求paris或lyon为真的同时，也不需要not berlin ，否则将暗示france和not france 。 在有背景知识说明最多一个变量同时为真的情况下，解决方案将仅是lyon or paris因为这将自动暗示not berlin 。