python中的最小特征值

Question

我想知道 numpy 是否有有效的实现来计算对称矩阵的最大或最小特征值，如果可能的话，没有全谱分解。 我发现以下模块实现了特征分解：

1. scipy.linalg ;
2. numpy linalg ;
3. scipy sparse linalg 。

scipy/sparse/linalg/eigsh 可以输出k个最小（最大）特征值和特征向量； scipy/linalg/eigh 还提供了选择特征值子集的选项； numpy/linalg/eigvalsh 输出所有特征值。 但是，如果我只想要一个特定的特征值，它们似乎都没有效率。

我运行了一些玩具示例来比较查找最大特征值的时间成本。 所有方法都给出了足够接近的解决方案，numpy.linalg 中的特征分解函数似乎最有效，认为它需要全谱分解。 有没有更好的方法来完成这项工作？

这是测试代码和解决方案

import numpy as np
import scipy.linalg
import scipy.sparse.linalg
import time


def test_scipy_eig(a):
    p = a.shape[0]
    w = scipy.linalg.eigh(a, eigvals=[p-1, p-1], eigvals_only=True)
    return w


def test_scipy_sparse_eig(a):
    p = a.shape[0]
    w = scipy.sparse.linalg.eigsh(a, k=1, which='LA', return_eigenvectors=False)
    return w


def test_numpy_eig(a):
    w = np.linalg.eigvalsh(a)
    return w


p = 2000
a = np.random.normal(0,1,(p,p))
b = a.dot(a.T)

start = time.time()
w1 = test_scipy_eig(b)
t1 = time.time() - start


start = time.time()
w2 = test_numpy_eig(b)
t2 = time.time() - start


start = time.time()
w3 = test_scipy_sparse_eig(b)
t3 = time.time() - start
print "time expense:\n scipy:%f  numpy:%f scipy_sparse:%f " % (t1, t2, t3)

print "largest eigenvalue:\n scipy:%f  numpy:%f scipy_sparse:%f " % (w1[0], w2[-1], w3[0])

输出

time expense:
 scipy:1.427211  numpy:1.395954 scipy_sparse:4.520002 
largest eigenvalue:
 scipy:7949.429984  numpy:7949.429984 scipy_sparse:7949.429984 

Answer 1

您的玩具问题恰好是通过迭代方法找到最大特征值的困难案例，因为您有几个特征值聚集在最大特征值周围。

如果你更换

a = np.random.normal(0,1,(p,p))

经过

a = np.random.rand(p, p)

您从scipy.sparse求解器获得非常不同的性能。

您正在寻找的答案是：正确使用的方法取决于您手头的问题，不能通过使用玩具示例来确定，除非玩具示例的特征值和稀疏结构以及大小与您的实际问题相似试图解决。