我需要的高效解决方案

Question

我只是解决了这个问题，但想知道更有效的方法做矩阵乘法

 M = | 1 0 3 |
     | 1 0 2 |
     | 0 5 0 |

f [n] = M ^ n

我已经使用Exponentiation_by_squaring实现了

还有效率更高吗？

Answer 1

我想这实际上更适合数学，因为有封闭形式的解决方案。 它是具有常数系数的线性齐次递归关系的系统。

另一个可能性：您可以通过两步推导公式来加快程序的速度，即通过RR(i-2)等表示RR(i)等。

而且可以重复进行，因此您可以跳得更快。

Answer 2

一个问题是您的计算正在溢出。 如果针对K = 1和J = 9运行它，则会得到-334328541#510576792#-817751931 。
最简单的解决方法是在calculateProduction执行% 1000000006 。

关于效率，我将这个问题视为执行矩阵乘法。 您从向量开始（即1 * 3矩阵）：

3 1 0

并在每一步中将其（mod 1000000006）与矩阵相乘：

1 1 0
0 0 5
3 2 0

让我们称向量V和矩阵M。基本上，您需要计算V * M ^N。 由于矩阵乘法是关联的，因此您可以先计算M ^N ，然后递归进行：
M ^N =（M ^{N / 2} ） ²如果N是偶数，或者
如果N为奇数，则M ^N = M *（M ^{[N / 2]} ） ²

Answer 3

您无需计算MM。 这就是为什么：

PP[i] = 5*MM[i-1] = 5*(RR[i-2] + 2*PP[i-2])
RR[i] = RR[i-1] + 3*PP[i-1] = (RR[i-2] + 3*PP[i-2]) + 3*PP[i-1]

看到？ 您无需在每个步骤都计算MM。 这应该是算法：

public class RecurrenceMachine {
    private static final int max = 1000000006;

    public String calculate(int k, int j) {
        long n = k * j;
        if (n < 1)
            return "error";
        long RRi2 = 3;
        long PPi2 = 0;
        long RRi1 = 3 + 3 * PPi2;
        long PPi1 = 5 * 1;
        if (n == 1)
            return RRi1 + "##" + (RRi2 + 2 * PPi2) + "##" + PPi1;
        Long PPi = (long) 0, RRi = (long) 0, temp;
        int i;
        for (i = 2; i <= n; i++) {
            temp = RRi2 + 2 * PPi2;
            PPi = 5 * temp;
            if (PPi >= max)
                PPi %= max;
            RRi = temp + PPi2 + 3 * PPi1;
            if (RRi >= max)
                RRi %= max;
            RRi2 = RRi1;
            PPi2 = PPi1;
            RRi1 = RRi;
            PPi1 = PPi;
        }
        return RRi + "##" + (RRi2 + 2 * PPi2) % max + "##" + PPi1;
    }
}

我只尝试了较小的值，它似乎起作用。