平方子矩阵之和的约束最大化

Question

我有一个图像的强度图，我想选择平均值较大的子区域。 为此，我想找到使子区域覆盖的强度图像素总和最大化的子区域。 为了防止返回的子区域过多，将对返回的每个其他子区域施加罚款。 另外，两个子区域重叠也是可以的，但是重叠的目标值仅仅是子区域的并集的目标值。

更正式地说，假设您有一个矩阵A，其中包含大小为m x n的非负值。 您想用尺寸为s x s的正方形子矩阵覆盖矩阵，以使被正方形面积的并集覆盖的A值之和最大化。 对于您添加到解决方案中的每个平方，将从解决方案的目标值中减去恒定的罚分p 。

例如，考虑以下矩阵：

0 0 0 0 0 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 2 2 0
0 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0

参数p = -4和s =2。最佳解是两个平方S1 = [1，2; 1，2]和S2 = [2，1; [2，2]的坐标分别为（2：3,2：3）和（2：3,4：5）（采用Matlab表示法）。 请注意，在此示例中，贪婪的方法会逐渐增加具有最大值的平方，直到无法添加平方（不降低目标值）为止。

解决该问题的一种蛮力方法是使用正好k个平方检查所有可能的组合。 从k = 1开始，您将使用正好为k的平方计算最佳组合，递增k并重复直到目标值停止增加。 这显然非常昂贵。

您可以使用积分图像在时间O（mn）中预先计算（m-s + 1）*（n-s + 1）个可能平方的值之和。

有没有有效的解决方案？

Answer 1

问题是NP-Hard。 这可以通过减少平面最小顶点覆盖率来证明。 特殊情况下s = 3，p = 2的证明和A仅具有值0或1的证明与其他SO问题的证明相同。

对于蛮力解决方案，如果不尝试增加k所有组合，而是逐步增加平方数，则可以提高效率。 当部分解决方案的目标值加上尚未覆盖的值的总和不超过迄今为止最好的目标值时，请通过删除最近添加的平方并尝试其他平方来回滚到最后一个有效组合。 避免添加将目标值加零的平方。 还应避免添加次优平方：例如，如果来自OP的部分解决方案包含平方[1，2; 1，2]，请勿添加平方[2，2; 2，2]因为[2，1; [2，2]永远至少是一样好，甚至更好。 并以快速获得足够好的解决方案的方式对方块进行重新排序，从而可以更快地终止所有进一步的尝试。