什么是在3个未知变量上找到N个多项式方程组的数值解的快速算法？

Question

我正在寻找一种快速算法来解决3个未知变量的N个多项式方程组。 也就是说，给定3个函数， F0(x,y,z), F1(x,y,z)... FN(x,y,z) ，我想找到x, y, z ，使得F0(x,y,z) = F1(x,y,z) = ... = FN(x,y,z) = 0 。

我试过在几个不同的地方找到解决方案，但我只能找到关于代数几何或密码学等主题的非常高级的论文。 但是，我需要的是一种简单/快速的算法，它可以返回快速的数值解法。 有这样的算法吗？

Answer 1

在几个变量中求解几个多项式方程是一个难题。 在平均情况下以多项式时间这样做是Smale的第17个问题。 您不太可能找到一个快速而简单的算法来实现这一点。

您可以查看Cox，Little和O'Shea的“理想，变体和算法”，了解Groebner基地的介绍。 Buchberger算法找到给定多项式理想的Groebner基。 您可以使用Groebner基础找到给定多项式系统的所有解，以获得由多项式生成的理想，尽管解决方案有点笨拙。

牛顿法是求解几个变量中几个非线性方程组的基本方法。 应用天真，牛顿的方法是启发式的; 即使存在解决方案，它也不会总能找到系统的解决方案。 但是， 如果牛顿方法收敛， 那么收敛速度非常快。 因此，Smale提出的理论问题的挑战在于找到一个可证明良好的初始猜测来启动牛顿方法。

贝尔特兰和帕尔多在Smale的第17个问题上取得了相当大的进展 ，给出了一种算法，该算法使用实数算术对具有有界度的系统进行平均处理。 此后，Briquel，Cucker，Pena和Roshchina将其转化为有限精度算法 。 令人着迷的是，我不知道这些想法的任何实现或任何实现尝试 - 我们仍然非常非常远离拥有可用于解决多项式方程组的代码 。

Answer 2

在您的上一条评论中，您将初始问题简化为一个更简单的问题，即x(t)=a+b*t和表面G(x)=0的交点。 通过简单地将线插入曲面方程，可以得到单变量问题F(t)=G(a+b*t)=0 。 在那里你可以使用单变量Newton方法或衍生自由方法作为Illinois方法（带有扭曲的规则falsi）或Brents方法。 仍然存在识别带有符号变化的间隔的全局问题。 你要么从表面的形式有一些想法，要么你必须将功能列表。 同伦延续也可以发挥作用，因为附近的线将经常具有附近的根。