如何找到矩阵的最大特征向量？

Question

我试图实现这一点没有成功，我必须不使用外部模块numpy等来执行此操作。应用程序中有3个模块，我正在对此进行编码，Python和C＃，C ++，但除标准库外没有其他精美的库。

在一个单独的应用程序上，我使用了numpy的svd，它的工作非常准确。 所以我用它来匹配我的结果。 我的方法是PCA，到目前为止一切都很好。 但是在计算对称协方差矩阵之后，我不知道如何找到最大的特征向量。

数据集始终为3d点x，y和z。

vector center;
for(point p in points):
    center += p;
center /= points.count;

sumxx = 0;
sumxy = 0;
sumxz = 0;
sumyy = 0;
sumyz = 0;
sumzz = 0;
for(point p in points):
    vector s = p - center;
    sumxx += s.x * s.x;
    sumxy += s.x * s.y;
    sumxz += s.x * s.z;
    sumyy += s.y * s.y;
    sumyz += s.y * s.z;
    sumzz += s.z * s.z;

matrix3 mat = invert(matrix3(sumxx, sumxy, sumxz, sumxy, sumyy, sumyz, sumxz, sumyz, sumzz));
vector n;
if (determinant(mat) > 0)
    normal = find_largest_eigenvalue

Answer 1

让我们回顾一下您的要求，以澄清：

1. 求矩阵mat的特征向量
2. 该特征向量应与矩阵的最大特征值相关联
3. 该矩阵是主成分分析的对称协方差矩阵。 特别地，它是对称的。
4. 您的矩阵是3乘3的正方形，如代码中matrix3 mat = ...所示，并在（现在已删除）注释中确认。

在这些非常特殊的情况下，适用以下答案。 但是，tmyklebu警告说，对于某些病理矩阵，此方法的数值不稳定，通常是在r接近-1 。

---

好吧，让我们从Wikipedia上有关特征多项式的页面开始阅读

在线性代数中，方阵的特征多项式是一个在矩阵相似性不变的情况下以特征值为根的多项式。

等等等等，让我们直接跳到特征值算法页面上的3x3矩阵部分 。

如果A是3×3矩阵，则其特征方程可表示为：

稍后（或多或少）此伪代码跟随几行， 用于对称矩阵 （如果我没记错的话，你说的是对称矩阵） -否则可能会有复杂的特征值）：

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = (A(1,1) + A(2,2) + A(3,3)) / 3
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * I)       % I is the identity matrix
   r = determinant(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

因此，您希望在第一种情况下使用max(eig1,eig2,eig3) ，在第二种情况下使用eig1 。 让我们将此e称为最大特征值。

对于特征向量，您现在可以求解(Ae*I)x=0

Answer 2

查找特征值的算法不同。 有些工作从最小到最大，例如QR。 其他的则从大到小工作，例如幂迭代或Jacobi-Davidson。

也许您想要的是算法切换。 尝试电源方法，看看是否有帮助。

https://scicomp.stackexchange.com/questions/1681/what-is-the-fast-way-to-calculate-the-largest-eigenvalue-of-a-general-matrix