带有O（1）随机访问和删除的有序列表

Question

是否存在具有以下属性的数据结构：

• 元素以某种顺序存储
• 访问给定索引处的元素需要O（1）时间（可能是摊销）
• 删除元素需要分摊O（1）时间，并适当地更改索引（因此，如果删除元素0，则对元素0的下一次访问应返回旧元素1）

对于上下文，我将算法问题从编程竞争减少到：

在m查询中，返回尚未返回的第k个最小正数。 您可以假设返回的数字小于某个常数n 。

如果存在上述数据结构，则可以在O(m)时间内通过创建数字1到n的列表来执行此操作。 然后，对于每个查询，找到索引为k的元素并将其删除。 在比赛期间，我的解决方案最终在某些输入上为O(m^2) 。

我很确定你可以在O(m log m)中用二叉搜索树做到这一点，但我想知道理想的O(m)是否可达。 我在网上发现的东西往往很接近，但并不完全存在 - 棘手的部分是你删除的元素可以来自列表中的任何位置。

Answer 1

1. 使用linked list可以删除O(1)

   每个元素都有指向next和previous元素的指针，因此remove只删除元素并设置其邻居的指针，如：

    element[ix-1].next=element[ix+1].prev 

2. 访问索引在O(1)有序元素可以使用indexed arrays完成

   所以你有像dat[]这样的无序数组和像idx[]这样的索引数组元素ix的访问只是：

    dat[idx[ix]] 

3. 现在的问题是立即拥有这些属性

   您可以尝试使用索引数组链接列表，但删除需要更新索引表，在最坏的情况下是O(N) 。

   如果你只有索引数组那么删除也是O(N)

   如果您在某种形式的树结构中有索引，那么删除可以接近O(log(N))但访问也将是O(log(N))

Answer 2

我相信有一种结构可以在O（n）时间内完成这两个任务，其中n是已被移除的点数，而不是总大小。 因此，如果您要删除的数字与数组的大小相比较小，则它接近于O（1）。

基本上，所有数据都存储在一个数组中。 已删除元素还有一个优先级队列。 初始化如下：

Data = [0, 1, 2, ..., m]
removed = new list

然后，要删除一个元素，可以将它的原始索引（请参见下面的获取方法）添加到优先级队列（按前面最小的元素大小排序），然后保持数组不变。 所以删除第3个元素：

Data = [0, 1, 2, 3,..., m]
removed = 2

那么现在是第4名，是第5名：

Data = [0, 1, 2, 3,..., m]
removed = 2 -> 4

那么现在的第三名是第四名：

Data = [0, 1, 2, 3,..., m]
removed = 2 -> 3 -> 4

现在要访问一个元素，你可以从它的索引开始。 然后，您沿着删除的列表进行迭代，每次将索引增加1，直到您到达的元素大于索引的增加值。 这将为您提供您正在寻找的元素的原始索引（即数据中的位置），并且是您需要删除的索引。

这种沿队列迭代的操作有效地将索引增加了被删除之前的元素数量。

对不起，如果我没有很好地解释，我脑子里很清楚，但很难写下来。

评论：

• 访问是O（n），有n个已删除的项目
• 删除大约是访问时间的两倍，但仍然是O（n）
• 缺点是内存使用不会随着移除而缩小。
• 当删除列表很大时，可能会“重新初始化”以重置内存使用以及访问和删除时间。 此操作采用O（N），总数组大小为N.

所以这不是OP所期待的，但在正确的情况下可能会很接近。