用2x1和1x2多米诺骨牌禁止位置放置2xN网格的方法有几种？

Question

我很想知道解决这个问题的算法。 问题陈述的正式描述是这样的-给定N（<100）和2x1和1x2的多米诺骨牌，我必须找到可能的不同网格拼贴的数量。 此处的区别是某些单元格将变黑以表示禁止位置。

Input:
5
01000
00010

Output:
1

输入中的0表示一个空单元格，而1个禁止的单元格。 我在“ 六角网格拼贴”中发现了类似的问题。 尽管很少提及使用带位掩码的动态编程解决此类问题，但我无法找到有关此技术的任何详尽解释。

PS：尽管我知道如何解决一般的网格平铺问题，但仅在我们仅给空单元格的情况下说这个问题，然后才能形成递归，如F（n）= F（n-1）+ F（n- 2），通过放置1x2多米诺骨牌或放置两个2x1多米诺骨牌分别覆盖第一和第一两列。 这可以迭代解决，甚至对于大N（例如> 10 ^ 7），我们可以使用矩阵幂技术。 但是我有兴趣了解通过DP + Bitmasks解决此类问题的技术。 任何帮助，将不胜感激。

Answer 1

对于i = n，n-1，...，1，您计算f00（i）=“如果第i列包含0,0，则从第i列填充的组合数”，f01（i）=“要填充的组合数从第i列开始，如果第i列包含0,1“，f10（i）=”如果第i列包含1,0，则从第i列填充的组合数“，f11（i）=”如果第i列包含，则从第i列填充的组合数第一栏包含1,1“

显然f00（n）= f11（n）= 1，f01（n）= f10（n）= 0。

f00（i）如果i <n：下一列中的任何内容都可以使用一个垂直图块，如果下一列是（0，0），则可以使用两个水平图块。 因此，如果下一列为（0，0），则结果为f00（i + 1）+ f11（i + 1）; 如果下一列是（0，1），（1、0）或（1，1），则f00（i）= f01，f10或f11（i + 1）。

i <n的f10（i）：必须使用一个水平图块。 如果下一列包含（0，1）或（1，1），则结果为0；否则，结果为0。 如果下一列包含（0，0）或（1，0），则结果为f01（i + 1）或f11（i + 1）。

f01（i）的工作原理相同。

f11（i）= f00，f01，f10或f11（i + 1），具体取决于下一列中的内容。

在线性时间内很容易找到解决方案。