如何计算此Fibonacci算法的效率？

Question

我正在使用Racket（Scheme / Lisp的衍生物），我写了这个使用累加器的Fibonacci算法：

(define (fibonacci* n)
  (local (; NaturalNumber NaturalNumber NaturalNumber -> NaturalNumber
          ; Add accumulators for current and previous fibonacci numbers
          (define (fibonacci-acc x current previous)
            (if (= x n) current
                (fibonacci-acc (add1 x) (+ current previous) current))))
    (fibonacci-acc 0 0 1)))

这是对不使用累加器的函数的大改进，如下所示：

(define (fibonacci n)
  (if (<= n 1) n
      (+ (fibonacci (- n 1))
         (fibonacci (- n 2)))))

但我怎么能建立递归方程来计算它是如何更有效？

Answer 1

设T（n）是计算(fib n)的时间，其中fib是：

(define (fib n)
  (if (<= n 1) 
      n
      (+ (fib (- n 1))
         (fib (- n 2)))))

由于fib体具有条件(if (<= n 1) ...)我们需要考虑两种情况。

如果n <= 1，则评估表达式n 。 它是一个变量引用，需要恒定的时间。 我们将时间设置为1（时间单位）。

总之，我们有：

T(0) = 1
T(1) = 1

对于大于1的n，评估表达式(+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2))))) 。 评估所需的时间(fib (- n 1))是由T精确定义为T（n-1）。 同样地，它需要时间T（n-2）来计算(fib (- n 2)))) 。 然后添加两个子表达式的结果(+ ...) 。 添加两个fixnums（63位数）所需的时间与变量引用的时间大致相同。 所以我们设置了添加到1的时间。我们一起得到：

T(n) = 1 + T(n-1) + T(n-2)    for n>1

因此，三个递归方程是：

T(0) = 1
T(1) = 1
T(n) = 1 + T(n-1) + T(n-2)    for n>1

有关T的分析，请参见以下文档的第8页：

http://users.cecs.anu.edu.au/~peter/seminars/RunningTimeInduction 。

通过诱导证明T(n)<=2^n 。

Answer 2

第二个函数多次计算同一个东西，因此它的复杂性是指数级的（ O(2^n) ，你可以得到一个更好的界限，但它在那个球场）。

         f(5)
       /     \
     f(3)    f(4)
   /  |     /    \
f(1) f(2)  f(2)   f(3)
          /    \    |   \
        f(0)  f(1) f(1)  f(2)
                         /   \
                       f(0)  f(1)

正如您通过绘制递归树所看到的，即使对于小值，也会经常重新计算多个值。

为了看到它真的是指数，想象f(6)的树：它将包含这个树，因为它调用f(5) ，树为f(4) ，所以它将是一个几乎两倍大小的树。

使用累加器的解决方案通过自下而上找到所需的斐波纳契数来避免这种情况，因此只计算绝对必要的数量。 这使得O(n)得到第n个斐波那契数。

要了解第一个算法的效率是多少，请查看线性函数与指数函数相比如何增长：

n   |   2^n
===========
1   |   2
2   |   4
3   |   8
4   |  16
5   |  32
6   |  64

所以基本上，线性确实快得多，正如你已经通过实验确定的那样。

Answer 3

嗯，这很简单，如果你计算新数字，你只需要两个你已经知道的较小数字。

每个新数字都是在恒定时间内计算的。

因此，第n个斐波那契数的复杂度为O（n） - 线性。