对数函数的时间复杂度

Question

程序的最坏情况或平均情况如何依赖于日志功能？ 日志的基础是如何发挥作用的？

Answer 1

当您将问题拆分为k部分时，会出现对数因子，每个部分的大小为n/k ，然后对其中一些部分进行“递归”（或模拟递归）。

一个简单的例子是以下循环：

foo(n):
  while n > 0:
     n = n/2
     print n

上面将打印n, n/2, n/4, .... , 1 - 并且有O(logn)这样的值。
上述程序的复杂性是O(logn) ，因为每次打印都需要恒定的时间量，并且n的值将是O(logn)

如果你正在寻找“真实生活”的例子，在quicksort中（为了简单起见，我们假设分成两半），你将大小为n的数组拆分为两个大小为n/2子数组，然后你在它们两个上进行递归 - 并在每一半调用算法。

这使得复杂功能：

T(n) = 2T(n/2) + O(n)

从主定理来看，这是在Theta(nlogn) 。

类似地，在二进制搜索上 - 您将问题分成两部分，并仅在其中一部分上递归：

T(n) = T(n/2) + 1

哪个将在Theta(logn)

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基础不是大O复杂性的因素，因为

log_k(n) = log_2(n)/log_2(k)

对于任何常数k ，log_2（k）是常数。