numpy，相同的计算结果不同

Question

我要计算这个公式 。
我认为结果是A。
所以我用numpy编写了一个python代码。
但是根据计算顺序，结果不是A。
是什么带来了这个？

import numpy as np
from numpy import *
from numpy.random import *
import decimal

#generate matrix A
A = randn(180,240)
A = np.array(A, dtype = decimal.Decimal )

#generate matrix P
h,w=A.shape
P = randn(0.9*h,h)
P = np.array(P, dtype = decimal.Decimal )

#it's OK. IA = A
PP = dot(P.T,P)
PPinv = np.linalg.inv(PP)
PPinvPP = dot(PPinv,PP)
PPinvPPinv = np.linalg.inv(PPinvPP)
I = dot(PPinvPPinv,PPinvPP)
IA = dot(I, A)

#I think IA2 must be A. but not A. Why?
PA = dot(P,A)
PPA = dot(P.T,PA)
PPinvPPA = dot(PPinv,PPA)
IA2 = dot(PPinvPPinv, PPinvPPA)

#print result
print "A;%0.2f" % A[0,0]
print "IA:%0.2f" % IA[0,0]
print "IA2:%0.2f" % IA2[0,0]

Answer 1

这里发生的事情很有趣：

通常，仅当PP非奇数时，您的公式才是正确的。

那么为什么AI == A ？

PP = dot(P.T,P)
PPinv = np.linalg.inv(PP)
PPinvPP = dot(PPinv,PP)
PPinvPPinv = np.linalg.inv(PPinvPP)
I = dot(PPinvPPinv,PPinvPP)
IA = dot(I, A)

这里有几件事要注意：

• PP = dot(PT,P)是奇数
• => PPinv不是真正的逆
• 但是PPinvPP是可逆的，所以I确实是单位矩阵

注意：由于对条款的特殊评估顺序，因此只能获得AI == A 。

在IA2项的第二次计算中，您没有此特殊的评估顺序，因此无法获得A

Answer 2

主要原因是当您使用高度小于宽度的非正方形矩阵P时，PP的行列式始终为零，但是由于计算误差，其=0。因此，在此之后，无法计算实数PPinv和任何后续步骤都没有意义。

P = randn(2,3)
P = np.array(P, dtype = decimal.Decimal )

PP = dot(P.T,P)
np.linalg.det(PP) #-5.2536080570332981e-34

那么为什么IA == A？

我认为这是error * error给您正常结果的情况。

怎么解决呢？

1. 不要将Python用于理论问题:)
2. 将P = randn（0.9 * h，h）更改为P = randn（1.1 * h，h）

Answer 3

这不是您问题的直接答案，但是您可以将Sympy用于以下类型的问题：

from IPython.display import display
import sympy as sy


sy.init_printing()  # For LaTeX-like pretty printing in IPython

n = 5
A = sy.MatrixSymbol('A', 162, 240)  # dimension 162x240
P = sy.MatrixSymbol('P', 162, 180)  # dimensions 162x180

PTP = P*P.T
ex1 = (PTP.inverse() * PTP).inverse() * PTP.inverse() * PTP * A
display(ex1)  # displays: A