素因子算法的复杂度

Question

我只是研究如何找到一个号码的主要因素这一算法，基本的工作原理是这样的：

void printPrimeFactors(N) {

  while N is even
    print 2 as prime factor
    N = N/2

  // At this point N is odd
  for all the ODDS i from 3 to sqrt(N)
    while N is divisible by i
      print i as prime factor
      N = N / i

  if N hasn't been divided by anything (i.e. it's still N)
    N is prime

  }

一切都清楚了，但是我不确定如何计算上述程序的big-O复杂度 。

作为除法中最昂贵的操作（我想），我想说，在最坏的情况下，最多可以有log（N）个除法，但是我对此并不完全确定。

Answer 1

您可以像这样继续进行。 首先，我们仅在N很大时才对应用程序的行为感兴趣。 在那种情况下，我们可以简化很多：如果两个部分的渐近性能不同，我们只需要选择性能最差的那一部分。

第一个while最多可以循环m次，其中m是最小的整数，因此2 ^m > = N 因此，在最坏的情况下它将循环记录₂ N次-这意味着它的性能为O（log N ）。 注意，当N足够大时，日志类型无关紧要。

for循环运行O（sqrt N ）次。 从规模上讲，这比log N大得多，因此我们可以删除log。

最后，我们需要评估while内循环。 由于此while循环仅针对除数执行，因此其O等于其数字。 随着一点点，虽然我们可以看到，在最坏情况下， while将循环日志₃ N时间，因为3可能是最小的约数。

因此，while循环仅执行O（log N ）次，而外部for执行O（sqrt N ）次（而且while循环通常不会运行，因为当前数目不会相除）。

总之，花费时间最长的部分是for循环，这将使算法成为O（sqrt N ）。