卷积的有效方法，如求和评估

Question

问题给定N个3维点，即{$ p_1，p_2，..，p_n $}，其中$ p_i =（x_i，y_i，z_i）$。 我必须找到公式的价值

对于某些给定的常数P，Q，R，S，所有数都在1到M（= 100）之间。

我需要一种有效的方法来计算这个公式

请告诉我们如何比$ O（n ^ 2）$更好地降低复杂性

Answer 1

假设所有坐标都在1到100之间，那么您可以通过以下方式执行此操作：

1. 计算所有点O（100 * 100 * 100）运算的3d直方图。

2. 使用FFT计算沿3个轴中每个轴的直方图卷积

这将产生3d矢量的3d直方图。 然后，您可以迭代此直方图以计算所需的值。

重点是计算值的直方图的卷积计算这些值的成对差异的直方图。 这也可以用于以类似的方式计算值之和的直方图。

Answer 2

你的问题看起来像一个粒子潜在的问题（例如你在电动力学中的那种），你必须通过对第i-th粒子的所有基本贡献求和来找到位置(x_j, y_j)的一些“势”。

特定于这类问题的快速算法是快速多极方法。 查找这个关键字，但我必须提醒你，理解或实施并不简单。 需要强大的数学背景。