Matlab不返回特征向量的正交矩阵

Question

当我试图在Matlab中找到具有重复特征值但没有缺陷的矩阵的特征分解时，它不返回eignevectors的标准正交矩阵。 例如：

k = 5;
repeats = 1;

% First generate a random matrix of eignevectors that is orthonormal
V = orth(rand(k));

% Now generate a vector of eigenvalues with the given number of repeats
D = rand(k,1);
for i = 1:repeats
    % Put one random value into another (note this sometimes will result in
    % less than the given number of repeats if we ever input the same
    % number)
    D(ceil(k*rand())) = D(ceil(k*rand()));
end

A = V'*diag(D)*V;

% Now test the eignevector matrix of A
[V_A, D_A] = eig(A);

disp(V_A*V_A' - eye(k))

我发现我的特征向量矩阵V_A不是正交的，即V_A*V_A'不等于单位矩阵（考虑到舍入误差）。

我的印象是，如果我的矩阵是真实的并且是对称的，那么Matlab将返回一个特征向量的正交矩阵，那么这里的问题是什么？

Answer 1

这似乎是一个数值精度问题。

实对称矩阵的特征向量是正交的 。 但是您的输入矩阵A并不完全对称。 正如数值误差所预期的那样，差异在eps数量级上。

>> A-A.'
ans =
   1.0e-16 *
         0   -0.2082   -0.2776         0    0.1388
    0.2082         0         0   -0.1388         0
    0.2776         0         0   -0.2776         0
         0    0.1388    0.2776         0   -0.5551
   -0.1388         0         0    0.5551         0

如果强制A是正好对称，你会得到一个正交V_A ，最多的顺序数值errrors eps ：

>> A = (A+A.')/2;
>> A-A.'
ans =
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0
>> [V_A, D_A] = eig(A);
>> disp(V_A*V_A' - eye(k))
   1.0e-15 *
   -0.3331    0.2220    0.0755    0.1804         0
    0.2220   -0.2220    0.0572   -0.1665    0.1110
    0.0755    0.0572   -0.8882   -0.0590   -0.0763
    0.1804   -0.1665   -0.0590         0   -0.0555
         0    0.1110   -0.0763   -0.0555         0

令人惊讶的是，当A是对称的并且A 几乎是对称的时， V_A获得了如此截然不同的结果。 这是我对正在发生的事情的赌注：正如@ArturoMagidin所说 ，

（1）对应于对称矩阵的不同特征值的特征向量必须彼此正交。 对应于相同特征值的特征向量不需要彼此正交。

（2）然而，由于每个子空间都具有标准正交基，因此可以找到每个本征空间的标准正交基，因此可以找到特征向量的标准正交基。

只有当A是对称的时，Matlab才可能采用路线（2）（因此迫使V_a正交）。 对于不完全对称的A它可能需要路径（1）并给出每个子空间的基础，但不一定是正交向量。

Answer 2

当且仅当AA'= A'A且特征值不同时，实矩阵的特征向量才是正交的。 如果特征值不明显，MATLAB选择正交的向量系统。 在上面的例子中，AA'〜= A'A。 此外，你必须考虑舍入和数字错误。