获取算法复杂度表的最有效方法

Question

我正尝试填写R的“算法简介，第三版”（由MIT出版社出版）（第14页）中作为练习题给出的表格。

单击此链接查看表格。

//下面：感谢G. Bach的评论，添加了句子。

我应该用

假设可解决问题的算法耗时f（n）微秒，则可以在时间t内解决的问题的最大大小n。

//上方：感谢G. Bach的评论，增加了句子。

我的代码如下所示。

msec <- 1
sec <- msec * 1000000
min <- sec * 60
hour <- min * 60
day <- hour * 24
mon <- day * 30
year <- day * 365
cen <- year * 100

time_units = c( sec, min, hour, day, mon, year, cen )

time_funcs = list(
    lg_n = function(x) 2^x,
    sqrt_2 = function(x) x^2,
    itself = function(x) x,
    n_sq = function(x) sqrt(x),
    n_3sq = function(x) pracma::nthroot(x, 3),
    nsq_of_2 = function(x) log2(x)
)

obvious_vals <- sapply( time_units, plyr::each(time_funcs) )

“ obvious_vals”的内容是

                 [,1]         [,2]         [,3]         [,4]         [,5]         [,6]         [,7]
lg_n              Inf          Inf          Inf          Inf          Inf          Inf          Inf
sqrt_2   1.000000e+12 3.600000e+15 1.296000e+19 7.464960e+21 6.718464e+24 9.945193e+26 9.945193e+30
itself   1.000000e+06 6.000000e+07 3.600000e+09 8.640000e+10 2.592000e+12 3.153600e+13 3.153600e+15
n_sq     1.000000e+03 7.745967e+03 6.000000e+04 2.939388e+05 1.609969e+06 5.615692e+06 5.615692e+07
n_3sq    1.000000e+02 3.914868e+02 1.532619e+03 4.420838e+03 1.373657e+04 3.159382e+04 1.466455e+05
nsq_of_2 1.993157e+01 2.583846e+01 3.174535e+01 3.633031e+01 4.123720e+01 4.484206e+01 5.148592e+01

但是，我无法获得nlog2（n）和n的逆函数！ （n阶乘）。 因此，我制作了一个函数来获取n的近似值，如下所示。 （此代码仅适用于nlog2（n） 。）

get_aprx_val <- function () {
    max_iter <- 100
    threshold <- 1.0e-07
    results <- rep( NA, length(time_units) )
    index <- 1

    for ( t_unit in time_units ) {
        x <- t_unit
        step <- .5 * t_unit

        for ( i in 1:max_iter ) {
            if ( x*log2(x) - t_unit >= threshold ) {
                x <- x - step
            }
            else if ( x*log2(x) - t_unit <= -threshold ) {
                x <- x + step
            }
            else {
                results[index] <- x
                break
            }
            step <- .5 * step
        }

        index <- index + 1
    }

    results
}

尽管通过上面的操作（例如下面的操作）获得了结果，

[1] 6.274613e+04 2.801418e+06 1.333781e+08 2.755148e+09 7.187086e+10 7.976339e+11 6.861096e+13

但我不确定我是否以最有效的方式做到了。 有谁有更好的主意来帮助我？

先感谢您。

Answer 1

如果要使用数值优化，可以使用uniroot ：

sapply(time_units, 
       function(time) uniroot(function(n) n * log2(n) - time, c(1e-8, 1e20))$root)
#[1] 6.274613e+04 2.801418e+06 1.333781e+08 2.755148e+09 7.187086e+10 7.976339e+11 6.861096e+13

为了更有效的方式，您必须求助于数学。