在多个点处拆分三次贝塞尔曲线

Question

我正在编写一种算法，将三次贝塞尔曲线分成多条曲线（最多4条）。 对于我想从头开始分割的每个点，我都有t值。 我也有一个算法用于分割曲线一次：

SubdivPoints subdivideBezier(Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3, float t)
{
    Vector2 p11 = (p1 - p0) * t + p0;
    Vector2 p21 = (p2 - p1) * t + p1;
    Vector2 p31 = (p3 - p2) * t + p2;

    Vector2 p12 = (p21 - p11) * t + p11;
    Vector2 p22 = (p31 - p21) * t + p21;

    Vector2 p13 = (p22 - p12) * t + p12;

    return SubdivPoints(p11, p12, p22, p31, p13);
}

我的问题是，是否有一种简单的方法来扩展它以进行多次拆分？ 我想在每次分裂之后我想重新计算t值; 我想知道的一件事是简单的算法是否适用于此。 例如，假设我的值为0.2和0.6。 我在t = 0.2处分割曲线，给出了两条曲线。 第二条曲线覆盖原始值的t <0.2 <t <1。 如果我通过除法重新计算0.6的第二个t值：（0.6 - 0.2）/（1 - 0.2）= 0.5，然后将第二个曲线除以t = 0.75，那会起作用吗？ 或者我是否需要以其他方式重新计算？

Answer 1

由于您的subdivideBezier（）函数确实遵循De Casteljau算法，我假设它可以在参数t处细分三次贝塞尔曲线。 所以，是的，要继续细分一个不同的参数（比如说t2），你需要做的就是弄清楚哪个细分曲线t2落在上面，计算新的t2 *与该曲线并细分。 在您想要在t = 0.2和0.6处细分的示例中，0.6的新参数应为（0.6-0.2）/（1-0.2）= 0.5。 因此，您可以在t = 0.5时简单地细分第二条曲线。

Answer 2

即使您当前的方法有效，我们也很难说，因为我们没有看到SubdivPoints背后的SubdivPoints 。 我可以想到两种方法：

1. 代数

   如果你把你的问题看作多项式的参数t缩放，那么它就会变得更加清晰。 例如，您需要部分t = <0.25,0.5>的控制点。 这意味着我们需要形成代表相同曲线的新控制点，参数u=<0.0,1.0> 。 怎么做？

   1. 将BEZIER写为多项式

   每个轴可以以相同的方式单独完成，我们只关注x轴。 我们有4个带有x坐标的BEZIER控制点(x0,x1,x2,x3) 。 如果我们应用bernstein多项式来形成三次多项式，我们得到：

    x(t)= ( ( x0)) + t*( (3.0*x1)-(3.0*x0)) + t*t*( (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0)) +t*t*t*(( x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-( x0)) 

   2. 通过替换重新缩放参数

   为此使用线性插值：

    t0=0.25 -> u0=0.0 t1=0.50 -> u1=1.0 t=t0+(t1-t0)*(u-u0)/(u1-u0) t=0.25+0.5*u 

   现在使用u而不是t重写多项式

    x(t)= ( ( x0)) +(0.25+u/2) *( (3.0*x1)-(3.0*x0)) +(0.25+u/2)^2*( (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0)) +(0.25+u/2)^3*(( x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-( x0)) 

   3. 更改多项式形式以再次匹配BEZIER方程

   现在你需要为u^0,u^1,u^2,u^3分离多项式项，并改进每个项以匹配BEZIER样式（来自＃1 ）。 从那个提取新的控制点。

   例如，术语u ^ 3是这样的。 获得u ^ 3的唯一可能性来自

    (1/4+u/2)^3= (1/8)*u^3 + (3/16)*u^2 + (3/32)*u + (1/64) 

   所以分开的u^3术语将是：

    u*u*u*(( x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-( x0))/8 

   其他将会更复杂，因为你需要将所有线组合在一起...简化之后，你需要分开新的坐标。 正如你所看到的那样是轻微的疯狂，但有代数求解器就像Derive for Windows ...

   对不起，我没有时间/心情/胃来充分说明所有条款，但你会发现这将是一个多项式的疯狂......

2. 曲线拟合

   这是基于您找到控制点的坐标并检查它与您想要的曲线的距离。 所以测试“”所有可能的“点并记住原始曲线在目标范围和新曲线之间的闭合匹配。这是无法解决的，因为可能存在无限数量的控制点，因此我们需要通过利用某些东西来削减那些可管理的大小。例如，我们现在控制点将不会远离原始控制点，因此我们可以使用它来限制每个点的面积。您可以使用近似搜索来实现此或任何其他最小化技术。

   如果你使用插值立方，你也可以得到更好的起点。 参见BEZIER vs Interpolation cubics 。 所以：

   1. 从BEZIER曲线计算4个新的插值立方控制点

      所以如果我们有与之前相同的范围

       X0 = BEZIER(t0-(t1-t0)) X1 = BEZIER(t0) X2 = BEZIER(t1) X3 = BEZIER(t1+(t1-t0)) 

      这些是插值立方控制点而不是BEZIER。 它们应该均匀分散。 X1,X2是曲线端点， X0,X3在它们之前和之后，以尽可能保持参数的局部形状和线性

   2. transfrom (X0,X1,X2,X3)回到BEZIER控制点(x0,x1,x2,x3)

      您可以使用上面链接中的我的公式：

       // input: X0,Y0,..X3,Y3 ... interpolation control points // output: x0,y0,..x3,y3 ... Bezier control points double x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,m=1.0/9.0; x0=X1; y0=Y1; x1=X1+((X1-X0)*m); y1=Y1+((Y1-Y0)*m); x2=X2+((X2-X3)*m); y2=Y2+((Y2-Y3)*m); x3=X2; y3=Y2; 

      如您所见，每个轴的计算方式相同......

   3. 对BEZIER控制点应用近似搜索

      新的(x0,x1,x2,x3)还不精确，因为通过盲目地改变控制点，我们可能会略微偏离曲线扭曲形状的局部极端。 所以我们需要搜索真实的。 幸运的是，新的控制点(x0',x1',x2',x3')将非常接近这些点，所以现在我们必须在其对应部分附近以一些合理的半径搜索每个点（如边界框size/8或者其他......你会看到结果并且可以调整......

[笔记]

如果您需要精确的精确结果，那么只有＃1方法可用。 方法＃2总会出现一些错误。 如果形状不需要精确，有时插值立方体转换为BEZIER而没有最终拟合就足够了（如果在切割区域中/附近形状不太复杂）。

正如我之前所写的，不知道你的SubdivPoints使用了哪个原则是不可能回答重复使用它的结果是什么......

此外，您没有指定解决方案的约束，如结果的准确性，速度/运行时限制......如果范围是固定的（常量），或者可以在运行时变化（这将使＃1方法极为复杂，因为您需要处理范围变量到最后）