对大O符号感到困惑

Question

根据本书 ，大O表示：

f（n）= O（g（n））表示c·g（n）是f（n）的上限。 因此，存在一个常数c，使得对于足够大的n（即，对于某个常数n0，n≥n0），f（n）始终≤c·g（n）。

我有点理解下面的大O方程

3n2-100n + 6 = O（n2），因为我选择c = 3且3n2> 3n2-100n + 6;

3如何成为一个因素？ 在3n2-100n + 6中，如果我们丢弃低阶项-100n和6，那么3n2和3.n2是否相同？ 如何解决这个方程式？

Answer 1

我将自由地稍微解释一下问题：

为什么 和 具有相同的渐近复杂度。

为此，定义必须在两个方向上都有效。

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第一：

让

然后 不平等总是得到满足。

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另一种方式：

让

我们有一个抛物线向上打开，因此又有一些 之后，不平等总是得到满足。

Answer 2

y = 3n ^ 2（上图）vs y = 3n ^ 2-100n + 6

考虑上面的草图。 根据您的定义， 对于足够大的n（即，对于某些常数n0，n≥n0） ，3n ^ 2仅需要大于3n ^ 2-100n + 6即可。 在这种情况下，让n0 = 5（可能会更小一些，但是很明显哪个图的n = 5更大，所以我们就去做）。

从图中可以明显看出，在我们绘制的范围内，3n ^ 2> = 3n ^ 2-100n + 6。 3n ^ 2-100n + 6变得大于3n ^ 2的唯一方法就是使其增长更快。

但是3n ^ 2和3n ^ 2-100n + 6的梯度分别为6n和6n-100，因此3n ^ 2-100n + 6的梯度不能更陡峭地增长，因此必须始终在其下方。

所以您的定义成立-3n ^ 2-100n + 6 <= 3n ^ 2对于所有n> = 5

Answer 3

我不是专家，但这看起来与我们在实际分析过程中所遇到的非常相似。

基本上，如果您有f(n) = 3n^2 − 100n + 6 ，那么当您拥有非常大的n时，“增长最快”项将“赢得”其他项。

因此，在这种情况下，当n很大时， 3n^2超过100n 。

另一个例子是f(n) = n/n^2或f(n) = n! * n^2 f(n) = n! * n^2 。

第一个变小，因为n根本无法“保持” n ^ 2。 在第二个示例中，n！ 显然增长快于n ^ 2，所以我想答案应该是f(n) = n! 然后，因为n ^ 2在技术上不再与大n有关。

像+6这样对n没有影响的术语是常数，它们的重要性甚至更低，因为即使n增大它们也不会增大。

这与n很大时发生的情况有关。 如果您的n是34934854385754385463543856，则n ^ 2是一个大于100n的地狱，因为n ^ 2 = n * n = 34934854385754385463543856 * 34934854385754385463543856。

Answer 4

让我们看看您f(n) in O(g(n))为f(n) in O(g(n))发布的定义：

f（n）= O（g（n））表示c·g（n）是f（n）的上限。 因此，存在一个常数c ，使得对于足够大的n （即，对于某个常数n0，n≥n0），f（n）始终≤c·g（n）。

因此，我们只需要找到一组满足以下条件的常量（c，n0）

f(n) < c · g(n), for all n > n0,                         (+)

但是这个集合不是唯一的 。 即，找到常数（c，n0）使得（+​​）成立的问题退化了 。 实际上，如果存在任何这样的常数对，将存在无限数量的不同这样的常数对。

请注意，这里我切换到严格的不等式，这实际上仅是一个品味问题，但我更喜欢后者。 现在，我们可以用可能更易于理解的术语重新声明Big-O的定义：

...如果我们可以找到一个常数c使得f（n）小于c·g（n）或所有n都大于n0，则可以说f（n）为O（g（n））。对于所有n> n0。

现在，让我们看一下您的函数f（n）

f(n) = 3n^2 - 100n + 6                                   (*)

让我们将您的功能描述为最高期限和其他功能的总和

f(n) = 3n^2 + h(n)                                       (**)
h(n) = 6 - 100n                                          (***)

现在，我们分别研究h（n）和f（n）的行为：

h(n) = 6 - 100n
what can we say about this expression?

    => if n > 6/100, then h(n) < 0, since 6 - 100*(6/100) = 0

        => h(n) < 0, given n > 6/100                     (i)

f(n) = 3n^2 + h(n)
what can we say about this expression, given (i)?

    => if n > 6/100, the f(n) = 3n^2 + h(n) < 3n^2

         => f(n) < c*n^2, with c=3, given n > 6/100      (ii)

好！

• 从（ii）中，我们可以选择常数c = 3 ，假设我们选择的另一个常数n0大于6/100。 让我们选择满足此条件的第一个整数： n0 = 1 。

因此，我们证明了（+）常数集**（c，n0）=（3,1）的金，随后， f（n）在O（n ^ 2）中 。

有关渐近行为的参考，请参见例如

• https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/big-o-notation