数据结构中的MST和Uniquness问题是旧解决的问题吗？

Question

我准备参加P.hD入学考试。 数据结构的旧解决问题之一如下：

关于简单，无向，加权和连通图G MST ，下列哪项声明是正确的？ （边缘权重不一定不同。）

1）如果G中的任何切口之间最轻的边缘是唯一的，那么MST是唯一的。

2）如果所有边缘权重不同，则MST是唯一的。

3）如果e=(u, v)的权重等于u和v之间所有路径中最大最轻边，则e在MST 。

答：其中一个是正确的。

谁能解释更多，这是真的吗？ 为什么？ 有任何证据，或者我们必须举例或提供反例？

Answer 1

我得到了一些链接，根据这些链接，我会尝试回答你的问题，但我不是MST的专家。 我认为这可以帮助你获得一些直觉，所以我发布这个。

[编辑和更正。 感谢@Niklas B.指出我的错误]

1） 在这里看到这个。 请看第（3页）中的（d）数字解决方案。它说If the lightest edge in a graph is unique, then it must be part of every MST.

因此，根据该定理，我们可以说， every unique lightest edge must belong to every MST 。 根据问题，据说lightest edge between any cut is unique 。 因此，MST中的每个边缘都必须最轻。 因此，MST必须是唯一的。

2）根据此处提供的链接@Niklas B ，您可以看到If each edge has a distinct weight then there will be only one, unique minimum spanning tree. 证据也在那里。 所以我认为2是真的。

3）请参阅此处的链接。 如上所述， if the weights of e=(u, v) be equal to maximum lightest edge in all paths between u and v then e be in the MST. 我们来看一个例子吧。

我们希望找到smallest maximum weight edge. 。 最简单的路径（意味着最大权重边缘最小的路径）从1到2是： 1 > 3 > 4 > 2 。 因为最大边缘权重仅为2.但是如果我在图像上像这样切割它，你会看到最轻的边缘是4.（这是e）。 显然我们不能包括这个，因为它会侵犯MST的财产。 因此，3不可能是真的。

所以，我认为1和2都是真的。 我希望它有意义，并帮助你一点。