计算三次贝塞尔曲线的拐点？

Question

我有四个点构成一个三次贝塞尔曲线：

P1 = (10, 5)
P2 = (9, 12)
P3 = (24, -2)
P4 = (25, 3)

现在我想找到这条曲线的拐点。 我google了/ /但每个人都指的是一个网站： http ： //www.caffeineowl.com/graphics/2d/vectorial/cubic-inflexion.html

不幸的是applet没有工作，我根本没有把它们放在一起。 有人可以如此友善地告诉我如何计算曲线的拐点吗？

Answer 1

对于Bezier曲线，您有两个参数方程X（t）和Y（t）。 要确定参数曲线的拐点，您需要找到曲线曲率（ wiki ）改变符号的位置。 所以你需要找到上述函数的第一个和第二个导数并求解方程式：

C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0

一阶导数是二次的，第二阶导数是线性的，因此对于t ，方程是立方的，并且可能有多达3个解。

编辑：已阅读链接文章，方程式简化为二次方式，最多可包含2个解决方案。

如果解决方案存在于t范围0..1中，则还必须检查它是否是真正的拐点 - 在此t值处检查C'(t) <> 0 。

示例：蓝色圆圈是拐点（两个卡住）

真实代码片段（Delphi）
鉴于：
P是控制点阵列
Cf是贝塞尔函数基的系数

P, Cf: array[0..3] of TPoint

//calculate Bezier coefficients
Cf[3].x := p[3].x - 3 * p[2].x + 3 * p[1].x - p[0].x;
Cf[2].x := 3 * (p[0].x - 2 * p[1].x + p[2].x);
Cf[1].x := 3 * (p[1].x - p[0].x);
Cf[0].x := p[0].x;
//the same for Y

//find parameters of quadratic equation
// a*t^2 + b*t + c = 0
a := 3 * (cf[2].X *cf[3].Y - cf[2].Y *cf[3].X);
b := 3 * (cf[1].X *cf[3].Y - cf[1].Y *cf[3].X);
c := cf[1].X *cf[2].Y - cf[1].Y *cf[2].X;

//here solve quadratic equations, find t parameters
//don't forget a lot of special cases like a=0, D<0, D=0, t outside 0..1 range
Discriminant := b * b - 4 * a * c;
....

Answer 2

详细说明MBo的答案， C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0几乎就是你想要的伪代码，因为第一和第二个导数很容易计算。

下面对Bezier导数的解释 ，以及坐标为（x1，y1）......（x4，y4）的通用Bezier函数，我们得到：

fx(t) = x1 (1-t)³ + 3·x2·(1-t)²·t + 3·x3·(1-t)·t² + x4·t³
fx'(t) = a·(1-t)² + 2·b·(1-t)·t + c·t²

其中a = 3（x2-x1），b = 3（x3-x2），c = 3（x4-x3），并且：

fx''(t) = u·(1-t) + v·t

其中u = 2（ba）且v = 2（cb）。 当然，y组件也是如此：

fy(t) = y1 (1-t)³ + 3·y2·(1-t)²·t + 3·y3·(1-t)·t² + y4·t³
fy'(t) = a'·(1-t)² + 2·b'·(1-t)·t + c'·t²
fy''(t) = u'·(1-t) + v'·t

其中a'与a相同但具有y值等。

算出C(t) = fx'(t)·fy''(t) - fx''(t)·fy'(t)的数学是令人讨厌的，但这就是我们拥有计算机的原因。 如果您拥有树莓派，您拥有Mathematica的许可，那么让我们使用它：

这是一个庞大的公式，但找到“任意”曲线的变形有点傻，因为贝塞尔曲线对于线性仿射变换是不变的，所以无论我们检查“真实曲线”，拐点的t值都保持不变或者我们是否旋转/平移/缩放曲线以使其具有更方便的坐标。 像翻译一样使（x1，y1）最终为（0,0），而（x4，y4）位于x轴上，因此y4为零。

如果我们这样做，那么我们得到一个非常简单的公式：

这简单多少了？ 好：

18 times:
  -     x3 * y2
  + 3 * x3 * y2 * t
  - 3 * x3 * y2 * t^2
  -     x4 * y2 * t
  + 2 * x4 * y2 * t^2
  +     x2 * y3
  - 3 * x2 * y3 * t
  + 3 * x2 * y3 * t^2
  -     x4 * y3 * t^2

自从我们编程以来，这是一大堆可缓存的值。 考虑：

a = x3 * y2
b = x4 * y2
c = x2 * y3
d = x4 * y3

我们可以将C(t)简化为：

1/18 * C(t) = -a + 3at - 3at^2 - bt + 2bt^2 + c - 3ct + 3ct^2 - dt^2
= -3at^2 + 2bt^2 + 3ct^2 - dt^2 + 3at - bt - 3ct - a + c
= (-3a + 2b + 3c - d)t^2 + (3a - b - 3c)t + (c - a)

把那个因子18放回来，这只是一个简单的二次公式，我们可以使用二次根同一性和更简单的值来找到根：

v1 = (-3a + 2b + 3c - d) * 18
v2 = (3a - b - 3c) * 18
v3 = (c - a) * 18

并且，如果3a +d 不等于 2b+3c （因为如果是这样的话没有根），我们得到：

  sqr = sqrt(v2^2 - 4 * v1 * v3)
    d = 2 * v1
root1 =  (sqr - v2) / d
root2 = -(sqr + v2) / d

扔掉不落入贝塞尔曲线区间[0,1]的根，你剩下的是原始曲线所反映的t值。

只是因为我无法将某些东西放在一起以便最终得到一些漂亮的伪代码。 这也是我给出一些点和坐标的原因。 我想看到有人用实数计算这个

特别是在Stackoverflow上，最好不要在前面懒惰，而是承诺可能需要学习新东西。