MATLAB的过滤器：如何设置初始条件

Question

我有一个非常简单的问题：生成y_1，...，y_n使得

y_t = x_t + a * y_ {t-1} + b * y_ {t-2}

其中给出了a，b，x_1，...，x_n，以及y_0和y _ {-1}。 我可以通过2种方式（使用循环并在使用filter之前进行一些手动调整）使用MATLAB进行此操作。 如何使用过滤器初始条件的内置余量来做到这一点？

我的代码如下：

clc; clear; tic;

n        = 20;
x        = (1:1:n)';  %//' this is here so code looks good in SO.com
yzero    = -3;
yminus1  = -4;
a        = 1;
b        = 1;
yinitial = [yminus1;yzero];

% alternative 1
y = zeros(n,1);
for i = 1:n
    if i == 1
        y(1) = x(1) + a * yzero + b * yminus1;
    elseif i == 2
        y(2) = x(2) + a * y(1) + b * yzero;
    else
        y(i) = x(i) + a * y(i-1) + b * y(i-2);
    end
end

% alternative 2
z    = x;
z(1) = z(1) + a * yzero + b * yminus1;
z(2) = z(2)             + b * yzero;
s    = filter(1,[1,-a,-b],z);

% alternative 3
r    = filter(1,[1,-a,-b],x,yinitial);


toc;

我希望得到与y ， s和r相同的答案。 但是只有y和s相同，而r却非常不同。 请问我做错了什么？

Answer 1

初始条件的第一个元素在第三种选择中略有偏离。

您使用初始条件：

yinitial =

    -4
    -3

但是正确的是

yinitialFix =

    -7
    -3

为什么？ 备选方案3中的filter调用中的第4个参数包含初始条件：in，将执行以下初始步骤：

x(1) = x(1) + yinitialFix(1)
x(2) = x(2) + yinitialFix(2)

因此，实际上，您在初始步骤中（隐式）计算了正确的值， yinitialFix在替代方案2中yinitialFix自己：

• 初始步骤将z(1)移位a * yzero + b * yminus1 = -7 ，
• 以相同的方式， z(2)移动b * yzero = -3 。

---

通过应用的修复程序，替代3

%// ...
%// alternative 3;
yinitialFix = [-7; -3];
r    = filter(1,[1,-a,-b],x,yinitialFix);

产生与前两个相同的结果。

Answer 2

对于替代方案3，使用yinitial进行操作是不正确的。 这里有2种解决方法。 首先，我需要重新定义yinitial ：

yinitial = [yzero;yminus1];

然后，我得到xinitial无论是从

xinitial = filter([b,a],1,yinitial);
xinitial = xinitial(end:-1:1);

或来自

xinitial = filtic(1,[1,-a,-b],yinitial);

那我打电话

r        = filter(1,[1,-a,-b],x,xinitial);