如何找到满足以下条件的字符串置换方式？

Question

我得到一个字符串，请说- “ abcd” 。 现在，我必须找到所有可以通过排列其字符而生成的字符串，以使-

1. 生成的字符串中恰好有四个不匹配项，并且
2. 错配成对存在，例如-

字符串- “ abcd”具有三个这样的排列- “ badc” ， “ cdab” ， “ dcba” 。

说明-

让我们考虑“ abcd”和“ badc” 。 现在与恰好有四个不匹配，即- （a，b） ， （b，a） ， （c，d） ， （d，c） ，这些不匹配成对存在。

请注意， “ABCDE”有15次这样的permutations- acbed，adebc，aedcb，baced，badce，baedc，cbaed，cdabe，ceadb，dbeac，dcbae，decab，ebdca，ecbda，EDCBA

我在哪里失败？ --

我只是手动查找字符串，但是对于大长度的字符串，这确实变得很耗时。 因此，我需要一个有效的解决方案。

Answer 1

如果您有一个长度为n的字符串，由n不同的字母组成，则找到的数字为： n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 8 。

原因：有C(n, 4)种方法可以从n字母中选择4不匹配的位置，对于每个这样的四元组，有3种配对方法。

因此结果是C(n, 4) * 3 = n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 8 。

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这里的假设是字符串中的所有字母都是不同的。 从问题描述中还不清楚字母是否可以重复。 如果您是这种情况，请对此答案发表评论。 然后，我将更新答案。

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编辑：现在假设字母可以重复。 情况更加复杂。 我将在这里给出草图。

假设该字符串包含m不同的字母，分别出现a_1, ..., a_m次。 另外，将b_i写入数字C(a_i, 2) 。

有以下三种情况：

• 情况1：这四个错配形成两个相同的对，例如，两个a和两个b被置换。

在这种情况下，我们有sum{b_i * b_j : 1 <= i < j <= m}不同的字符串。 等于(sum{b_i}^2 - sum{b_i ^2}) / 2 ，该表达式可以在O(m)时间内求值。

• 情况2：这四个不匹配项包含三个不同的字母，例如，一个a与一个b配对，另一个a与一个c配对。

在这种情况下，首先选择两对中相同的字母，假设它是第i个字母； 然后必须选择另外两个字母。

将s表示所有a_i的总和，将t表示所有b_i的总和。 如果我们从剩余的s - a_i字母中选择两个任意字母，则必须排除两个字母相同的情况，这有t - b_i可能性。 因此，存在C(s - a_i, 2) - (t - b_i)不同的方式来选择其他两个字母，因此b_i * (C(s - a_i, 2) - (t - b_i))不同的字符串。 在这种情况下，对所有i求和得出的总字符串数不同。 仍然可以在O(m)时间中进行评估。

• 情况3：四个不同的字母，例如a和b组成一对，一个c和d组成另一对。

想法是一样的。 首先，考虑选择的可能性4任意字母所有s字母。 然后，我们必须排除几种情况：

一世。 所有四个字母都是相同的， sum{C(a_i, 4)}案例；

ii。 三个字母相同，第四个字母不同，这具有sum{C(a_i, 3) * (s - a_i)}情况；

iii。 两个字母相同，另外两个也相同，这恰是案例1中计算出的数字；

iv。 两个字母相同，另外两个字母不同，这正是案例2中计算出的数字。

因此，从所有s字母中选择四个不同字母的可能性总数为： C(s, 4) - [i] - [ii] - [iii] - [iv] 。 和以前一样，此数字应乘以3以产生不同的字符串数，因为每个四元组给出3不同的字符串。

总而言之，时间复杂度为O(m) ，这显然是最佳的。