确定C ++中给定NxN矩阵的所有平方子矩阵

Question

给定一个NxN方阵，我想通过删除相等数量的行和列来确定所有可能的方子矩阵。

为了确定所有可能的2x2矩阵，我需要循环4次。 同样，对于3x3矩阵，我需要循环6次，依此类推。 有没有一种方法可以用C ++生成代码，以便动态生成循环代码？ 我已经检查了一些与C ++中的代码生成相关的答案，但是大多数答案都在其中使用了python。 我对python不了解。 那么，是否可以编写代码来用C ++生成代码？

Answer 1

如果我明白您的意思，您的意思是您需要M个循环来选择M行，并且对于M x M子矩阵，需要M个循环以M列的形式，1 <= M <= N

您不需要2 * M循环即可执行此操作。 无需不断增加循环数来动态生成代码！

本质上，您需要“组合” i_ {1}，i_ {2}，...，i_ {M}和j_ {1}，j_ {2}，...，j_ {M}的所有可能组合，例如那1 <= i_ {1} <i_ {2} <... <i_ {M} <= N（和j相似）

如果您具有所有此类i_ {1}，...，i_ {M}的所有可能组合，则基本上可以完成。

假设您使用的是10 x 10矩阵，则需要4 x 4子矩阵。

假设最初选择了行{1,2,3,4}和列{1,2,3,4}。 接下来选择列{1,2,3,5}。 接下来的{1,2,3,6}，依此类推，直到{1,2,3,10}。 接下来选择{1，2，4，5}，然后选择{1,2,4，6}，依此类推，直到达到{7，8，9，10}。 这是您可以按顺序生成所有（“ 10选择4”）组合的一种方式。

继续，编写一个生成此序列的函数，您已完成。 它可以将当前组合（作为M值的数组）作为输入M，N，并返回下一个组合。

您需要调用此序列以选择下一行和下一列。

我已经稍微松了点。 如果不清楚，我可以编辑以更新我的答案。

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编辑：

我将假设循环索引从0开始（C ++方式！）。 为了进一步详细说明该算法，给定一个组合作为输入，可以通过将该组合视为种类的“计数器”来生成下一个组合（除非没有数字重复）。

免责声明：我尚未运行或测试以下代码段。 但是，您可以看到这个主意。 另外，我不再使用C ++。 如有任何错误，请多包涵。

// Requires M <= N as input, (N as in N x N matrix)
void nextCombination( int *currentCombination, int M, int N ) {
    int *arr = currentCombination;
    for( int i = M - 1; i >= 0; i-- ) {
        if( arr[i] < N - M + i ) {
            arr[i]++;
            for( i = i + 1, i < M; i++ ) {
                arr[i] = arr[i - 1] + 1;
            }
            break;
        }
    }

}

// Write code for Initialization: arr = [0, 1, 2, 3]
nextCombination( arr, 4, 10 );
// arr = [0, 1, 2, 4]

// You can check if the last combination has been reached by checking if arr[0] == N - M + 1. Please incorporate that into the function if you wish.

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编辑：

实际上，我想检查所有可能的子矩阵的奇异性。 我的方法是计算所有子矩阵，然后找到它们的行列式。 计算2x2矩阵的行列式后，我将如何存储它们并在计算3x3矩阵的行列式时使用。 等等。 您能建议我一个更好的方法吗？ 我没有时间和空间的限制。 –醋

使用建议的直接方法是根据构成子矩阵的行-列组合为行列式建立索引。 首先，在哈希图中存储1 x 1个子矩阵的行列式（基本上是条目本身）。

因此，对于10 x 10的情况，哈希图看起来像这样
{ "0-0" : arr_{0, 0}, "0-1" : arr_{0, 1}, . . . "1-0" : arr_{1, 0}, "1-1" : arr_{1, 1}, . . . "9-9" : arr_{9, 9} }

当M = 2时，您可以使用常用公式（已初始化1 x 1个子矩阵的行列式）来计算行列式，然后将其添加到哈希图中。 2 x 2子矩阵的哈希字符串看起来类似于1:3-2:8 ，其中原始10 x 10矩阵中的行索引为1,3，列索引为2、8。通常，对于mxm在子矩阵中，行列式可以通过查找所有必需的（已经）计算的（m-1）x（m-1）行列式来确定-这是一个简单的哈希映射查找。 同样，一旦计算，就将行列式添加到哈希图。

当然，您可能需要稍微修改nextCombination（）函数-当前它假定行索引和列索引的范围是0到N-1。

另外，由于所有子矩阵都是从1 x 1开始处理的，因此不需要nextCombination（）函数之类的东西。 给定2 x 2矩阵，您只需要再选择一行和一列即可形成3 x 3矩阵。 因此，您需要选择一个行索引（这不是构成2 x 2子矩阵的行索引的一部分），并且类似地选择一个列索引。 但是，对于每个2 x 2矩阵执行此操作将生成重复的3 x 3矩阵-您需要考虑一些消除重复项的方法。 避免重复的一种方法是仅选择索引大于子矩阵中最高行/列索引的行/列。

我再次松散地定义了这个想法。 您可以在此基础上建立。