在 Python 中生成非奇异稀疏矩阵

Question

当稀疏矩阵由scipy.sparse.rand生成时，它可以是奇异的。 事实上，下面的代码"RuntimeError: superlu failure (singular matrix?) at line 100 in file scipy/sparse/linalg/dsolve/SuperLU/SRC/dsnode_bmod.c"引发错误"RuntimeError: superlu failure (singular matrix?) at line 100 in file scipy/sparse/linalg/dsolve/SuperLU/SRC/dsnode_bmod.c" 。

dim = 20000
ratio = 0.000133

A = scipy.sparse.rand(dim,dim,ratio)
inv_sparse = scipy.sparse.linalg.inv(A)

有没有办法生成非奇异稀疏矩阵？

我真正想做的是比较scipy.sparse.linalg.inv和np.linalg.inv性能（处理时间）。 这就是为什么我需要生成不是奇异的随机稀疏矩阵。

Answer 1

矩阵的密度ratio = 0.000133非常低。 这意味着 7518 中大约有一项是非空的。 因此，每一项为空的概率约为 7517/7518。

每行由 20000 个独立术语组成。 所以一行为空的概率是 (7517/7518)^20000=6.99%。 因此，一行为非空的概率为 1-(7517/7518)^20000=93.0%。

然后，矩阵由 20000 行组成。 这些行可以被认为是独立的。 因此，矩阵不包含空行的概率是 (1-(7517/7518)^20000)^20000=(93.0%)^20000。 这个概率非常低。

由于矩阵可能包含空行，因此它通常是单数的。

此外，由于浮点数的精度有限，程序通常将病态矩阵视为奇异矩阵。 事实上，在这种情况下，计算出的逆将是非常不精确和毫无意义的。

最后，为了比较反函数，最好使用已知可逆的矩阵......至少，您可以尝试增加密度，以便空行的概率变得非常低。

Answer 2

正如@hpaulj 的评论中已经建议的那样，您可以向随机矩阵添加单位矩阵以使其可逆。

但是，在您需要找到线性方程组的近似解的应用程序中，只需将单位矩阵乘以一个小因子：

dim = 20000
ratio = 0.000133
A = csc_matrix(scipy.sparse.random(dim, dim, density=ratio), dtype=float)
A = A + scipy.sparse.csr_matrix(np.eye(A.shape[0]) * 1e-8)
A = scipy.sparse.csc_matrix(A)
inv_sparse = scipy.sparse.linalg.inv(A)