如何使用 Robust PCA 输出作为传统 PCA 的主成分（特征）向量

Question

我正在使用 PCA 来降低 N 维数据集的维数，但我想建立对大型异常值的稳健性，所以我一直在研究 Robust PCA 代码。

对于传统的 PCA，我使用的是 python 的 sklearn.decomposition.PCA，它可以很好地将主成分作为向量返回，然后我可以将数据投影到其上（要清楚，我还使用 SVD 编码了我自己的版本，所以我知道如何该方法有效）。 我发现了一些预编码的 RPCA python 代码（如https://github.com/dganguli/robust-pca和https://github.com/jkarnows/rpcaADMM ）。

第一个代码基于 Candes 等人。 (2009) 方法，并返回数据集 D 的低秩 L 和稀疏 S 矩阵。第二个代码使用矩阵分解的 ADMM 方法 (Parikh, N., & Boyd, S. 2013) 并返回 X_1、X_2、X_3 矩阵. 我必须承认，我很难弄清楚如何将这些连接到标准 PCM 算法返回的主轴。 任何人都可以提供任何指导吗？

具体来说，在一个数据集 X 中，我有一团 N 个 3-D 点。 我通过 PCA 运行它：

pca=sklean.decompose.PCA(n_components=3)
pca.fit(X)
comps=pca.components_

这 3 个分量是 3-D 向量，定义了我将所有点投影到的新基础。 使用 Robust PCA，我得到矩阵 L+S=X。 然后运行 ​​pca.fit(L) 吗？ 我本以为 RPCA 会给我回特征向量，但有内部步骤来丢弃异常值，作为构建协方差矩阵或执行 SVD 的一部分。

也许我认为的“强大的 PCA”不是其他人使用/编码的方式？

Answer 1

robust-pca代码将数据矩阵D分解为两个矩阵L和S ，它们是“低秩”和“稀疏”矩阵（详细信息请参见论文）。 L是各种观测值之间大部分恒定的值，而S是变化的值。 图2和图3中的纸张从一对夫妇的安全摄像机提供一个非常好的例子，挑选出静态背景（ L ）和可变性，如路过的人（ S ）。

如果您只想要特征向量，请将S视为垃圾（您要剪掉的“大异常值”）并对L矩阵进行特征分析。

下面是一个使用robust-pca代码的例子：

    L, S = RPCA(data).fit()
    rcomp, revals, revecs = pca(L)
    print("Normalised robust eigenvalues: %s" % (revals/np.sum(revals),))

这里的pca函数是：

def pca(data, numComponents=None):
    """Principal Components Analysis

    From: http://stackoverflow.com/a/13224592/834250

    Parameters
    ----------
    data : `numpy.ndarray`
        numpy array of data to analyse
    numComponents : `int`
        number of principal components to use

    Returns
    -------
    comps : `numpy.ndarray`
        Principal components
    evals : `numpy.ndarray`
        Eigenvalues
    evecs : `numpy.ndarray`
        Eigenvectors
    """
    m, n = data.shape
    data -= data.mean(axis=0)
    R = np.cov(data, rowvar=False)
    # use 'eigh' rather than 'eig' since R is symmetric,
    # the performance gain is substantial
    evals, evecs = np.linalg.eigh(R)
    idx = np.argsort(evals)[::-1]
    evecs = evecs[:,idx]
    evals = evals[idx]
    if numComponents is not None:
        evecs = evecs[:, :numComponents]
    # carry out the transformation on the data using eigenvectors
    # and return the re-scaled data, eigenvalues, and eigenvectors
    return np.dot(evecs.T, data.T).T, evals, evecs