Diffie-Hellman密钥交换-澄清吗？

Question

简要 ：

爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）试图进行交流，而不希望夏娃（正在听）知道他们将要谈论的话题。

所以

               Bad Eve
                  |
                  |
Alice ------------+--------------- Bob                               

爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）在质数模和生成器上公开达成共识。

说

• 发电机= 3
• 素数= 17

因此公式将是（例如）：

3^x % 17

好。

爱丽丝（Alice）选择一个私人号码（例如15 ），然后执行3^15 %17 => 6
鲍勃（Bob）选择一个私人号码（例如13 ），然后执行3^13 %17 => 12

现在，当夏娃在听时，爱丽丝和鲍伯互相告诉他们他们的结果（ 而不是他们的私钥）。

所以现在的图片是：

                Bad Eve ( knows : 3^x %17 , 12,6)
                   |
                   |
 Alice ------------+--------------- Bob  
 (15)private                       (13)private 
  12(Bob's)                        6(Eve's)                       

现在，爱丽丝拿了鲍勃的12和她的私钥，然后这样做：

((other's public num) ^ secret number) % 17

爱丽丝在做： 12^15 % 17 => 10

鲍勃在做： 6^13 % 17 => 10

因此，现在它们具有相同的对称数。

现在：

这是一个例子，很容易破解。

夏娃要做的就是试图找出3^x % 17哪个x是15或13 。

但是显然，我们在这里谈论的是大数字。

如果是这样-我写了这个演示：

Console.WriteLine(BigInteger.Pow( new BigInteger(3213213213212123332), 6549875) % 17);

这是：

3213213213212123332 ^ 6549875 % 17

我有16GB内存的I7，运行了5分钟

题 ：

如果双方（爱丽丝和鲍勃）都使用大数，那么第一步要花很长的时间才能得到结果（以后他们应该交换该值）

我可能在这里错过了一些东西，但是似乎通过使用大量数字使夏娃的生活变得艰难，这也使爱丽丝和鲍勃的生活变得艰难。

我想念什么？

Answer 1

您缺少的东西称为模幂 。 这是一种计算巨大的指数模值的快速方法。

例如，假设您要计算（123 ^ 456）mod 777。

如果先执行幂运算，将得到约1000位数字的结果。 对于DH密钥交换中通常使用的那种值，您最终可能需要使用更多的数字，甚至可能是数百万。 显然这根本没有效率。

模幂运算将问题分解为更容易的步骤。 有两种数学身份使这成为可能：

1. （x ^ a）×（x ^ b）= x ^（a + b），并且
2. （x ^ y）mod n =（（（x mod n）^ y）mod n

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证明：

其中第一个应该是不言而喻的。 第二个可以证明如下：

如果x mod n == z，则对于c的某个整数值，x等于（c×n + z）。 （c×n + z）^ y的二项式展开具有（y + 1）项

c ^ y×n ^ y + k1×c ^（y-1）×n ^（y-1）.z + k2×c ^（y-2）×n ^（y-2）×z ^ 2 + ... + k（y-1）c×n×z ^（y-1）+ z ^ y

（其中k1 ... k（y-1）是二项式系数 ）

除了最后一个（z ^ y）以外，所有这些项都是n的倍数，因此等于零（mod n）。 因此（x ^ y）mod n ==（z ^ y）mod n ==（（xx mod n）^ y）mod n。

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模幂运算算法：

要计算（x ^ y）mod n，请重复将x自身相乘以获得以下序列：

X0 = x mod n
X1 = X0×X0 mod n = x ^ 2 mod n
X2 = X1×X1 mod n = x ^ 4 mod n
X3 = X2×X2 mod n = x ^ 8 mod n
X4 = X3×X3 mod n = x ^ 16 mod n

现在，将与该系列中与y的二进制表示形式的设置位相对应的项相乘。 例如，假设y = 21：

（x ^ 21）mod n =（（x ^ 16）×（x ^ 4）×x）mod n =（X4 * X2 * X0）mod n

用这种方法进行计算有两个优点。 首先，您将要计算的最大数字最多为模数n的两倍。 其次，必须执行的计算数量与指数的（以2为底）对数成正比，这意味着对于6549875这样的指数，计算将运行数百万倍。