最小生成树变异算法

Question

在采访中有人问我以下问题，而我找不到有效的解决方案。

这是问题所在：

我们想建立一个网络，并给它n个节点和m个边。 边缘是双向的，我们知道边缘的成本。 边缘的所有成本都保存在数组C中，因此C [i，j]表示边缘ij的成本。 如果节点i，j没有连接，则C [i，j]是无限的。

现在我们还知道，恰好有K个节点能够与具有此属性的其他节点进行无线通信（用于无线传输）。 为节点i设置无线技术的成本为B [i]。 因此，节点i为了使用到节点j的无线传输能力，这将花费B [i]来建立到节点i的无线技术，而B [j]则是j。

因此，问题是要找到建立任何两个节点i，j都可以通信的网络所需的最低成本（会有一条连接它们的路径）。

作为路径，我们意味着要么存在从节点i到j的边缘，要么我们也可以在支持它的节点之间使用无线传输。

显然，要求最小生成树，但是困难在于，例如，如果我们对节点i，j和k使用无线技术，则添加可能的边ij，ik，jk，但是如果仅在i，j中使用，则我们仅具有额外的边缘ij，因此边缘取决于我们选择用于无线传输的节点。

一个简单的例子：

假设我们有4 nodes和3 edges C[1,2]=9 , C[1,3]=3 , C[3,4]=5 （其他C[i,j] are infinite ）。

节点2和3支持无线技术，其建立成本为B [2] = 2和B [3] = 1。

在此示例中，最小成本为： 16 = 8 (for edge 1-3) + 5 (for edge 3-4) + 2 (for set up cost 2) + 1 (for set up cost in node 3).

如果我们不在边缘2-3中使用无线技术，则要建立网络，我们应将edge 1-2包含在成本9中，这样总成本将为9+8+5 = 22.

我正在为这种最小生成树问题寻找一种有效的算法。 任何帮助将不胜感激，谢谢您的时间！

Answer 1

首先解决最小生成树问题，这为您提供了一个尝试跳动的答案。

现在，创建与原始图相同的另一个图，向该网络添加一个新节点。 将所有K个节点连接到边缘权重等于B [i]的新节点。 这个优势代表了向节点i添加无线的成本。 现在找到新图的最小生成树。 节点现在可以通过此节点连接为“ wifi”。

（我假设他们告诉您哪些K个节点支持wifi，而不是您必须选择N个节点中的K个，否则，如果这个新的最小生成树与新节点的连接数超过K个，您将遇到问题）。