将矩阵对角线转换为列

Question

我正在寻找以下形式的矩阵运算： B = M*A*N其中A是一些普通的方形矩阵，而M和N是我要查找的矩阵。 使得列B是的对角线A 。 第一列是主对角线，第二列是对角线从主角偏移1，依此类推。

例如在MATLAB语法中：

A = [1, 2, 3 
     4, 5, 6 
     7, 8, 9]

和

B = [1, 2, 3 
     5, 6, 4 
     9, 7, 8]

编辑：似乎不存在纯线性代数解决方案。 因此，我将更精确地说明我要执行的操作：

对于大小为1 xm向量v 。 然后定义C = repmat(v,m,1) 。 我的矩阵是A = CC.'; 。 因此， A本质上是v所有值的差异，但我只对值之间的某个距离之内的差异感兴趣。 那是A的对角线; 但是m太大，以至于这种mxm矩阵的构造会导致内存不足的问题。 我正在寻找一种以尽可能高效的方式（在MATLAB中）提取那些对角线的方法。

谢谢！

Answer 1

如果您实际上并不是在寻找线性代数解，那么我会争辩说，使用两个矩阵乘法构造与A大小相同的三个附加矩阵在时间和空间复杂度上都非常低效。 鉴于我对线性代数的了解有限，我不确定是否有可能找到矩阵解，但是即使这样，也一定会很麻烦。

既然您说您只需要沿某些对角线的值，那么我将使用diag构造那些对角线：

A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];
m = size(A, 1);   % assume A is square
k = 1;            % let's get the k'th diagonal
kdiag = [diag(A, k); diag(A, k-m)];

kdiag =

   2
   6
   7

对角线0是主要对角线，对角线m-1 （对于mxm矩阵）是最后一个。 因此，如果您想要所有B ，则可以轻松循环：

B = zeros(size(A));
for k = 0:m-1
   B(:,k+1) = [diag(A, k); diag(A, k-m)];
end

B =

   1   2   3
   5   6   4
   9   7   8

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从评论：

对于v，某些向量的大小为1xm。 然后B = repmat（v，m，1）。 我的矩阵是A = BB。 A本质上是v中所有值的差异，但我只对值之间的某个距离之内的差异感兴趣。

比方说

m = 4;
v = [1 3 7 11];

如果您构建整个矩阵，

B = repmat(v, m, 1);
A = B - B.';

A =
    0    2    6   10
   -2    0    4    8
   -6   -4    0    4
  -10   -8   -4    0

主对角线是零，所以这不是很有趣。 我称为k = 1的下一个对角线是

[2 4 4 -10].'

您可以通过移动v的元素来构造对角线，而无需构造A甚至B ：

k = 1;
diag1 = circshift(v, m-k, 2) - v;

diag1 =

    2    4    4  -10

主对角线由k = 0给出，最后对角线由k = m-1 。

Answer 2

您可以使用toeplitz函数创建用于重新排列A列索引，然后将其转换为线性索引以用于对A进行重新排序，如下所示：

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9
>> n = size(A, 1);
>> index = repmat((1:n).', 1, n)+n*(toeplitz([1 n:-1:2], 1:n)-1);
>> B = zeros(n);
>> B(index) = A
B =
     1     2     3
     5     6     4
     9     7     8

这将推广到任何大小的方阵A