贝尔曼福特算法可以有任何边缘的任意顺序吗？

Question

我刚刚开始学习新的算法，但是当我在极客上读极客的贝尔曼福特算法时我陷入困境： - http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-23-bellman-ford-algorithm/

在那里写的是 -

该算法以自下而上的方式计算最短路径。 它首先计算最短路径的最短距离，该最短路径在路径中最多有一条边。 然后，它计算最多2条边的最短路径，依此类推。

在外循环的第i次迭代之后，计算具有至多i个边缘的最短路径。 可以有最大| V | - 任何简单路径中的1条边，这就是外循环运行| v |的原因 - 1次。 假设没有负权重周期，如果我们计算了最多i个边缘的最短路径，那么在所有边缘上的迭代保证给出最多（i + 1）个边缘的最短路径。

让我们通过以下示例图来理解该算法。 图像来自此来源。

让给定的源顶点为0.将所有距离初始化为无穷大，除了到源本身的距离。 图中的顶点总数为5，因此所有边必须处理4次。

在下面的例子中，如果边的顺序为 - （AB），（BE），（ED），（DC），（AC），（BC），（DB），（BD）那么在一次迭代中它将计算最短甚至2-3条边的路径与“它首先计算路径中最多一条边最短路径的最短距离”的说法相矛盾。然后，它计算最多2条边的最短路径，依此类推在外循环的第i次迭代之后，计算具有至多i个边缘的最短路径“因此，在改变边缘的顺序时，该语句将被证明是错误的。

让我们通过以下示例图来理解该算法。 图像来自此来源。

让给定的源顶点为0.将所有距离初始化为无穷大，除了到源本身的距离。 图中的顶点总数为5，因此所有边必须处理4次。

让所有边沿按以下顺序处理：（B，E），（D，B），（B，D），（A，B），（A，C），（D，C），（B，C） ，（E，D）。 当第一次处理所有边时，我们得到跟随距离。 第一行显示初始距离。 第二行显示处理边（B，E），（D，B），（B，D）和（A，B）时的距离。 第三行显示处理（A，C）时的距离。 第四行显示何时处理（D，C），（B，C）和（E，D）。

第一次迭代保证给出最多1个边长的所有最短路径。 当第二次处理所有边时，我们得到跟随距离（最后一行显示最终值）。

第二次迭代保证给出最多2个边长的所有最短路径。 该算法再处理所有边缘2次。 在第二次迭代之后距离最小化，因此第三次和第四次迭代不更新距离。

Answer 1

是的，无论处理边缘的顺序如何，Bellman ford都能正常工作。 实际上，这就是你必须进行n-1次迭代的原因。 如果你知道，边缘的最佳顺序是什么 - 只有一次迭代就足够了。

考虑下面的图（所有边都有权重1 ）：

 (1) --> (2) --> (3) --> (4) 

如果按照1->2 2->3 3->4的顺序处理边缘。 您将在一次迭代中找到从1到4的最短路径。 对于按顺序3->4 2->3 1->2排序的边，您将不得不进行所有3次迭代。

然而，无论处理边缘的顺序如何（如果没有负循环）， n-1次迭代是最坏的情况。

Answer 2

那是对的。 放松的顺序无关紧要。

例如，

有3个节点，因此可以进行两次松弛迭代。 如果松弛从节点b开始向后发生，然后再到节点a，则第一次迭代将产生b：无穷大，a：2。然后第二次迭代为b：5，a：2。 在第一次迭代中，b不能更新，因为只使用了一个边，只能更新一个距离它一边的节点。 第二次迭代是当从源到任何地方使用两条边时，因此最终可以更新b。 在第一次迭代中，b因为没有准备好而无法更新。

那么我们如何看待前向更新？ 在第一次迭代中，它将是：2和b：5。第二次迭代是a：2，b：5再次。 继续前进使所有连续节点都准备好​​更新的距离，因此更多的迭代不会改变值。 但是人们可能想知道如果我为101个节点进行100次迭代，我正在进行前向更新。 是否有可能在第一次迭代中更新了所有内容，并且在第99次迭代之前没有任何变化，并且突然间在第100次迭代时有一个节点的距离减小了？ 不，这是不可能的，因为除非存在负循环，否则在第一次迭代之后前向更新不会导致更改。

您可以在此处阅读有关Bellman-Ford的更多信息： https ： //medium.com/@logicdevildotcom/dynamic-programming-applied-to-graphs-f33b6b8a8247

Answer 3

您带引号的表行

第四行显示何时处理（D，C），（B，C）和（E，D）。

是不正确的。 这意味着存在从A到C的路径，其长度为2，最多由一条边组成 - 但是这样的路径不存在。

Answer 4

样本图

在这个有向加权图中，假设我们将按以下顺序放松边缘：（u，v），（s，u）和（s，v）。 这里的来源是“s”。 因此，在Bellman Ford算法的初始化步骤中，我们得到d（s）= 0，d（u）= d（v）=∞。 在这里，我们总共有3个顶点数，因此算法应该有3-1 = 2个迭代次数，以便为来自源的顶点产生最短距离。 在迭代的每个步骤中，我们需要对每个边（u，v）进行放松步骤，检查d（u）+ w（u，v）<d（v），如果这个条件成立，那么d（v ）将等于d（u）+ w（u，v）

在第一次迭代之后：d（u）= 3，d（v）= 7在第二次迭代之后：d（u）= 3，d（v）= 5

因此，正如您所看到的，第一次迭代不能保证给出最多1个边长的所有最短路径。 因为在这个例子中，我们只在第二次迭代后得到1个边长节点“v”的最短距离。 但是，如果我们在图中强制执行三角不等式，则该陈述将为真。

现在回答你原来的问题，是贝尔曼福特算法可以按任意顺序放松边缘，如上面的@ead很好地回答。 但是在最后的迭代步骤结束时，算法将为您提供源节点中每个节点的最短距离。