是否可以证明所有减少策略中的按需调用具有最小的渐近时间复杂度？

Question

当我在这里阅读Church Rosser II定理时

定理（Church Rosser II）

如果有一个终止减少，那么最外面的减少也将终止。

我想知道：是否有一些定理加强了教会Rosser II定理，以便它告诉渐近时间复杂度而不是终止？

或者，是否可以证明所需减少策略在所有减少策略中具有最小的渐近时间复杂度？

Answer 1

当然不是。 考虑

f x y = sum [1..x] + y
g x = sum (map (f x) [1..x])

gx调用减少将执行O（x ^ 2）加法，但实际上只需要O（x） 。 例如，懒惰的HNF将为我们带来这种复杂性。

-- The definition f3 will get lazily refined.
let f3 y = f 3 y = sum [1,2,3] + y

g 3 = sum (map f3 [1,2,3])
    = sum [f3 1, f3 2, f3 3]

-- Now let's refine f3 to HNF *before* applying it
f3 y = sum [1,2,3] + y
     = 6 + y

-- And continue g 3
g 3 = sum [f3 1, f3 2, f3 3]
    -- no need to compute sum [1..x] three times
    = sum [6 + 1, 6 + 2, 6 + 3]
    = ...

我在这里手动了评估顺序，但希望你能得到这个想法。 我们在应用之前将函数体简化为HNF，从而共享任何不依赖于参数的计算。

有关这方面的更多信息，请参阅Michael Jonathan Thyer的Lazy Specialization 。

Answer 2

我觉得你的问题有点困惑。 请让我澄清几点。

首先，你提到的定理传统上称为标准化定理，由于Curry和Feys（组合逻辑I，1958），推广到Hindley（ 标准和正常缩减 ）的eta减少，然后被许多其他作者修改（看这个问题 ）。

其次，最外层的减少不同于需要的呼叫（按需要呼叫甚至不是传统意义上的减少策略）。

面对复杂性问题，即问题的核心问题，按需求调用仅在弱减少方面是最优的。 然而，弱减少并不总是减少λ项的最佳方法。 一个众所周知的例子是以下术语

                                n 2 I I

其中n和2是教会整数，我是一个身份。 我在最后加了两个I，否则弱还原语言会过早地停止计算。

观察到该术语减少为

                          2 (2 (... (2 I))..) I

并且（2 I）减少到I.因此，通过最内部的减少，您将能够在线性时间中减少该项。

另一方面，我邀请您在Haskell中执行先前的计算，您将发现减少时间在n中呈指数增长。 我留给你了解这种现象的原因。

在这个帖子中已经进行了类似的讨论。