C思维：浮点数与整数和浮点数表示形式

Question

在C语言（和许多其他语言）中使用整数时，除精度外，必须注意一个问题。 最好在除法之前将事物相乘并相加（从而产生更大的中间结果，只要它不会溢出）。

但是花车呢？ 那还成立吗？ 还是以这样一种方式来表示：最好将数量级相近的数量相除，而不是数量级较小的数量级？

Answer 1

浮点数/双精度数和类似的浮点数表示法是针对保留有效数字 （也称为“精度”），而不是固定的小数位数 ，例如定点数或整数运算。

最好避免组合数量，这些数量可能导致指数的隐式不足或溢出，即在浮点数范围的极限处。

因此，应避免对数量相差很大（明显地或由于具有相反符号的数量）进行加/减，并在可能的情况下重新安排，以避免这种众所周知的精度下降途径。

示例：最好重构/重新排序

small + big + small + big + small * big

如

(small+small+small) + big + big

因为小个体可能对大个体没有影响，因此它们的贡献可能会消失。

如果任何数量的低位存在任何“噪声”或不精确度，明智的做法是知道有效位的丢失如何通过计算传播。

Answer 2

使用整数：
只要没有溢出， +,-,*始终是精确的。
通过除法，结果将被截断，并且通常不等于数学答案。
ia,ib,ic ，在除ia*ib/ic与ia*(ib/ic)之前相乘更好，因为商是基于乘积ia*ib位数多于ib 。

带浮点数：
问题是微妙的。 同样，只要不发生上溢/下溢，顺序或*,/序列所产生的影响将小于整数。 FP */-类似于添加/减去日志。 典型结果在数学上正确答案的0.5 ULP之内。

使用FP和+,-如果1）值的幅度相差较大或2）减去几乎相等的值且先前计算中的误差现在变为fa,fb,fc的结果可能与数学正确的结果有显着差异。重大。

考虑二次方程：

double d = sqrt(b*b - 4*a/c);  // assume b*b - 4*a/c >= 0
double root1 = (-b + d)/(2*a);
double root2 = (-b - d)/(2*a);

与

double d = sqrt(b*b - 4*a/c);  // assume b*b - 4*a/c >= 0
double root1 = (b < 0) ? (-b + d)/(2*a)  :  (-b - d)/(2*a)
double root2 = c/(a*root1);  // assume a*root1 != 0

当一个根接近0且|b|时，第二根具有更好的root2精度结果|b| 接近d 。 这是因为b,d减法消除了许多有效位，从而使d的计算误差变得显着。

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Answer 3

（对于整数）总是最好在相除之前对它们进行相乘和相加（从而创建更大的中间结果，只要它不会溢出）。

仍然保持（对于浮动）吗？

一般来说，答案是否定的

构造一个简单的示例，其中在除法之前添加所有输入会给您带来巨大的舍入误差。

假设您要添加10000000000值并将它们除以1000。进一步假定每个值均为1。因此，预期结果为10000000。

方法1但是，如果在除法之前添加所有值，则将获得结果16777.216（对于32位浮点数）。 如您所见，它已经关闭了。

方法2那么在将每个值加到结果上之前，将每个值除以1000更好吗？ 如果这样做，您将得到结果32768.0（对于32位浮点数）。 如您所见，它几乎也处于关闭状态。

方法3但是，如果继续添加值，直到临时结果大于1000000，然后将临时结果除以1000，然后将中间结果添加到最终结果中，然后重复该操作，直到添加总计10000000000的值，您将得到正确的结果。

因此，在处理浮点时，没有简单的“总是在除法前添加”或“总是在除法前添加”。 通常，将操作数保持在相似的大小通常是一个好主意。 这就是第三个示例所做的。