理解大 O 符号 - 破解编码面试示例 9

Question

我被这两个代码困住了。

代码 1

int f(int n){
    if (n <= 1){
         return 1;
    }
    return f(n-1) + f(n-1);
}

代码2 （平衡二叉搜索树）

int sum(Node node){
    if(node == null){
        return 0;
    }
    return sum(node.left) + node.value + sum(node.right);
}

作者说代码1的运行时间是O(2^n)，空间复杂度是O(n)

代码 2 是 O(N)

我不知道这两个代码有什么不同。 看起来两者都是相同的二叉树

Answer 1

首先，了解两种情况下的N是很重要的。 在第一个例子中，它非常明显，因为你直接在代码中看到它。 对于第一种情况，如果构建f(i)调用树，您将看到它包含O(2^N)元素。 确实，

            f(N)             // 1 node
        /          \ 
   f(N-1)         f(N-1)     // 2 nodes
  /      \      /      \
f(N-2) f(N-2)  f(N-2) f(N-2) // 2^2 nodes
...
f(1) ........ f(1)           // 2^(N-1) nodes

在第二种情况下，N（很可能）是树中的许多元素。 正如您可能从代码中看到的那样，我们只遍历每个元素一次 - 您可以实现它，因为您看到每个树节点都会调用一次node.value 。 因此O（N）。

请注意，在此类任务中， N通常表示输入的大小 ，而输入的大小取决于您的问题。 它可以只是一个数字（比如你​​的第一个问题），一维数组，二叉树（比如你的第二个问题），甚至是一个矩阵（尽管在后一种情况下你可能会看到像“一个大小为M * N“的矩阵。

所以你的困惑可能来自于这两个问题之间“N的定义”不同的事实。 换句话说，我可以说n2 = 2^n1 。

Answer 2

那么有一个错误，因为第一个片段在O（2 ^ n）中运行而不是O（n ^ 2）。

解释是：在每一步中我们减少n但创建两次调用次数，因此对于n，我们将用f（n-1）调用两次，对于n-1的每一次调用，我们将调用两次f（n-2） - 这是4次调用，如果我们再次调低，我们将用f（n-3）调用8次：所以调用次数是：2 ^ 1，然后是2 ^ 2 ，然后2 ^ 3,2 ^ 4，...，2 ^ n。

第二个片段在二叉树上进行一次传递，并且恰好到达每个节点一次，因此它是O（n）。

Answer 3

第一个代码确实是O(2^n) 。

但是第二个代码不能是O(n) ，因为那里没有n 。 这是许多人忘记的事情，通常他们在没有澄清的情况下假设 n是什么。

事实上，您可以根据任何事情估算任何事物的增长速度。 有时它是输入的大小（在第一个代码中是O(1)或O(log n)取决于大数字的用法），有时只是在参数上，如果它是数字。

因此，当我们开始考虑第二个代码中的时间和内存时，我们可以得到以下内容：

1. time=O(number_of_nodes_in_tree)
2. time=O(2^height_of_tree)
3. additional_space=O(height_of_tree)
4. additional_space=O(log(number_of_nodes)) （如果树是平衡的）

所有这些都是同时正确的 - 它们只是将某些东西与不同的东西联系起来。

Answer 4

代码1：

if()语句根据传递给参数的内容运行n次，但该函数自身调用n-1次。 简化：

n * (n-1) = n^2 - n = O(n^2 - n) = O(n^2)

代码2：

搜索只遍历树的每个元素一次，函数本身没有任何for() 。 由于有n项目并且它们只被访问过一次，因此它是O(n) 。

Answer 5

对于代码2，要确定函数的大O，我们是否必须考虑重复的成本以及重复运行的次数？

如果我们使用两种方法来估计使用递归树和主定理的Big O：

递归树：每个级别的总成本对于每个级别将是cn，因为递归调用的数量和输入的分数相等，并且树的级别是lg（n），因为它是平衡的二叉搜索树。 那么运行时间应该是nlg（n）？

主定理：这应该是一个案例2，因为f（n）= n ^ logbase a（b）。 那么根据主定理，它应该是nlg（n）运行时间？

Answer 6

你在两个案例的“N”之间感到困惑。 在第一种情况下，N指的是给定的输入。 因此，例如，如果N = 4，则被调用的函数的数量是2 ^ 4 = 16。 您可以绘制递归图来说明。 因此O（2 ^ N）。

在第二种情况下，N指的是二叉树中的节点数。 因此，此N与输入无关，但与二叉树中已存在的节点数量无关。 因此，当用户调用该函数时，它只访问每个节点一次。 因此O（N）。

Answer 7

我们可以将其视为O(2^Depth) 。

第一个例子中：深度为N ，恰好是书中提到的问题的输入。

在第二个例子中：它是一个平衡的二叉搜索树，因此，它有Log(N)层（深度）。 注意： N是树中元素的数量。

=> 让我们应用我们的O(2^Depth) .. O(2^(Log(N)) = O(N)给我们留下O(N)的复杂性。

提醒：

• 在计算机科学中，我们通常将Log2(n)称为Log(n) 。
• 以 b 为底数的 x 的对数是您对 b 求得 x 的指数。

在上面的复杂性中： O(2^(Log(N) ，我们将基数 2 提高到Log2(N)这给了我们 N。（检查两个提醒）

此链接可能很有用。