贝塞尔曲线与曲线内的控制点

Question

请参见下图。 使用每侧的4个贝塞尔曲线创建此路径对象。 当前，当我尝试获取使用三次盆状曲线创建的此路径对象的边界时，我遇到了一个问题。 如您所见，顶部和底部具有远离曲线的控制点，这使边界完全不准确。

所以我的问题是，是否有可能像图像中那样将曲线上或曲线上的所有控制点都制作成拼图玩具。 （即在曲线的边界内创建所有曲线和完美的镜像）

Answer 1

然后，不要使用控制点来计算边界。 至少如果您需要紧密的边界并且不想快速检查给定裁剪矩形中的潜在可见性。 这个很棒的网站可以为常见的Bézier曲线计算（包括边界框）提供很多帮助。

或者，切换到样条曲线上控制点在曲线上的位置，但是您可能会得到相反的效果，即曲线超出了控制点所施加的边界。

Answer 2

您可以轻松地将BEZIER三次控制点转换为插值三次。 只需反转一下：

• BEZIER与插值三次方

所以：

/*                              bezier = interpol
1  |                           (    x0)=X1;
t  |                  (3.0*x1)-(3.0*x0)=(0.5*(X2-X0));
tt |         (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0)=(3.0*(X2-X1))-(X2-X0)-(0.5*(X3-X1));
ttt|(    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0)=(0.5*(X2-X0))+(0.5*(X3-X1))+(2.0*(-X2+X1));
1  |                           (    y0)=Y1;
t  |                  (3.0*y1)-(3.0*y0)=(0.5*(Y2-Y0));
tt |         (3.0*y2)-(6.0*y1)+(3.0*y0)=(3.0*(Y2-Y1))-(Y2-Y0)-(0.5*(Y3-Y1));
ttt|(    y3)-(3.0*y2)+(3.0*y1)-(    y0)=(0.5*(Y2-Y0))+(0.5*(Y3-Y1))+(2.0*(-Y2+Y1));
*/

// input: x0,y0,..x3,y3 ... Bezier control points
// output: X0,Y0,..X3,Y3  ... interpolation control points
    double x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,m=1.0/9.0;
    X0=x0-(x1-x0)/m; Y0=y0-(y1-y0)/m;
    X1=x0;           Y1=y0;
    X2=x3;           Y2=y3;
    X3=x3+(x3-x2)/m; Y3=y3+(y3-y2)/m;

希望我没有做任何代数错误。 这会将所有控制点直接移动到曲线中，而形状将保持不变。 请注意，对于BBOX计算，您仅应使用(X1,Y1)和(X2,Y2)因为所使用的参数t=<0,1>在它们之间进行插值！！！！

但是，即使没有控制点，您也可能会遇到一些极端情况，即使这样也会造成不准确的情况。 万一这是个问题（BBOX比应有的要小一些），您可以使用一些步长（ 0.1 ）重新采样形状以设置曲线上的点集（例如，每立方10个），然后从这些点进行BBOX点。 那将更加精确，但粗略地会慢一些。

Answer 3

贝塞尔曲线的一个特性是，当您分割它们时，平滑曲线和CV之间的距离会缩小。

因此，一种在顶部和底部固定这些CV的方法是使用De Casteljau算法将相关的贝塞尔曲线拆分为两个贝塞尔曲线。

您甚至可以通过算法执行此操作：

• 查找紧密边界框和基于CV的边界框。
• 如果差异大于公差，则找到最大/最小CV及其相关的贝塞尔曲线
• 将所有相关的Bezier曲线分别分成两条Bezier曲线
• 重复

最终，您将达到您的宽容。 如果您的容忍度非常高或数据比较棘手，那么到那时您可能会有很多贝塞尔曲线。