如何使用特征库计算矩阵的正确核？

Question

我已经开始使用本征库实现算法。 我需要计算矩阵的空空间（内核）。 我已经尝试了一个立方体的矩阵，

0, 0, 1,   
0, 1, 0,   
1, 0, 0,   
-1, 0, 0,    
0, 0, -1,   
0, -1, 0

然后，我叫它的来源

A.transposeInPlace();
std::cout << "and after being transposed:\n" << A << std::endl;
FullPivLU<MatrixXf> lu(A);
MatrixXf A_null_space = lu.kernel();
std::cout << "Null space:\n" << A_null_space << std::endl;
A_null_space.transposeInPlace();
std::cout << "Null space Transposed_A:\n" << A_null_space;

我得到

 0.5    0   -1    1    0    0    0    0    0  0.5
-0.5    0   -0    0    1    0    0    0    0 -0.5
 0.5    0   -0    0    0    1    0    0    0 -0.5
 0.5    0   -0    0    0    0    1    0    0  0.5
  -1    0    1    0    0    0    0    1    0   -1
-0.5    0    1    0    0    0    0    0    1 -0.5
-0.5    1   -0    0    0    0    0    0    0  0.5

但是，我后来才意识到它的右内核和左内核是相同的，并且似乎代码片段计算了左内核。 代码在另一个测试用例上越来越疯狂了。 那么，如何计算正确的内核 ？ 该链接还将通过示例显示左右内核之间的差异。 但是，如果我删除第一行，则输出为0 0 0

显然，这个问题是

MatrixXf A{10, 3};
A <<
        1, 0, 1 ,
        1, 0, 0 ,
        0, 1, 1 ,
        0, 1, 0 ,
        0, 0, 1 ,
        -1, 0, 0 ,
        0, 0, -1 ,
        0, -1, 1 ,
        0, -1, 0 ,
        -1, 0, 1;

其输出预期为

 1  0  0  0  0  0  0 -2  2  1
 0  1  0  0  0  0  0 -1  1  1
 0  0  1  0  0  0  0 -1  2  0
 0  0  0  1  0  0  0  0  1  0
 0  0  0  0  1  0  0 -1  1  0
 0  0  0  0  0  1  0  1 -1 -1
 0  0  0  0  0  0  1  1 -1  0

QR分解

HouseholderQR<MatrixXf> qr(A);
    cout << "\nQR matrix to compare \n" << qr.matrixQR().transpose();

然后我得到

   -1.41421           0    0.414214
  -0.707107   -0.707107          -1
  -0.707107    0.707107           1
          0           0           1
  -0.707107    0.707107           0
   0.707107    0.707107           0
   0.707107   -0.707107           0
  -0.707107    0.707107          -1
          0           0          -1
1.19209e-07     1.41421 5.96046e-08

@Edit 2， Eigen计算错误吗？

资源

@Edit 3，

我真的但真的很困惑，因为两个矩阵看起来都正确！ 怎么会？

Answer 1

如您所见，这两个矩阵都是有效的正确内核。 这是因为它们对应于同一子空间的两个不同基础。 要进行检查，可以将两个矩阵简化为简化的行梯形形式（matlab中的rref函数，或参见此在线计算器 ）。 此变换是唯一的，不会更改矩阵定义的范围。 您的参考内核基础已经采用这种形式。 因此，您要做的就是减少Eigen返回的值，并看到它为您提供与参考值相同的矩阵。