在某些CAS（计算机代数系统）中定义特定的多项式环

Question

我对在某些CAS（奇异，GAP，Sage等）中定义以下多项式商环感兴趣：

R = GF(256)[x] / (x^4 + 1)

具体来说， R是所有度为3的所有多项式的集合，其系数属于GF（256）。 两个示例包括：

p(x) = {03}x^3 + {01}x^2 + {01}x + {02}
q(x) = {0B}x^3 + {0D}x^2 + {09}x + {0E}

加法和乘法定义为每环定律。 在这里，我提到它们是为了强调：

• 加法：对应的系数经过XOR运算（GF（256）中的加法）：

   p(x) + q(x) = {08}x^3 + {0C}x^2 + {08}x + {0C} 

• 乘法：将多项式相乘（在GF（256）中将系数相加并相乘）。 计算结果为x ^ 4 + 1：

   p(x) * q(x) = ({03}*{0B}x^6 + ... + {02}*{0E}) mod (x^4 + 1) = ({03}*{0B}x^6 + ... + {02}*{0E}) mod (x^4 + 1) = ({1D}x^6 + {1C}x^5 + {1D}x^4 + {00}x^3 + {1D}x^2 + {1C}x + {1C}) mod (x^4 + 1) = {01} 

请告诉我如何在您选择的CAS中定义R = GF(256)[x] / (x^4 + 1) ，并说明如何在p（x）和q（x）之间实现上述加法和乘法。