计算3D平面圆的最小半径

Question

假设我们有N个3D卡形平面围绕中心原点盘旋，面向中间。 要计算这些平面的位置（相对于原点），我们使用以下内容：

auto Delta = FMath::DegreesToRadians(360.f) / (float)(N);
for (unsigned i = 0; i < N; i++) {
    auto X = Radius * FMath::Sin(Delta * (float)i);
    auto Y = Radius * FMath::Cos(Delta * (float)i);
    auto Location = FVector(X, Y, 0.f);
    // Spawn plane actor, set it's location, etc...
}

这很好用。 但现在，让我们说，我们只想指定N ，并用它来计算Radius ，使每个平面的两侧几乎无法接触，但没有碰撞。 我们需要的是一种计算最小半径的方法。

我意识到我可以从一些高价值开始，在一些演员中产生，检查它们是否碰撞，如果它们不是，则移除所有演员并将Radius减少一些值然后重新开始直到我们碰撞，但是这似乎有点矫枉过正。 必须有一种更简单，更数学的方法。

有任何想法吗？ 这是一个图像，以帮助可视化我正在尝试计算的内容， 仅给出n （边数）和a （边宽）：

注意， n = 6和a = 10仅是比喻示例。 它们可以是任何非零值。

Answer 1

@KillzoneKid用我的MSPaint技能更新了问题，以更好地说明当前的情况

所以你想知道X和Y在哪里放飞机？ 当半径已知时应该很容易。 也许尝试这样的东西，如果它工作（2D，但你可以适应3D）：

#include <iostream>
#include <cmath>

int main() {

    constexpr double PI = 3.141592653589793238;
    double sideWidth = 248;
    int countSides = 6;

    double deltaAngleRads = 2.0 / countSides * PI;
    double minRadius = sideWidth / (2 * std::tan(PI / countSides));

    double rads = 0.0;
    for (int i = 0; i < countSides; ++i)
    {
        std::cout << "X=" << minRadius * std::sin(rads) << "\tY=" << minRadius * std::cos(rads) << std::endl;
        rads += deltaAngleRads;
    }

    std::cout << "Min radius: " << minRadius << std::endl;

    return 0;
}

https://ideone.com/zo0HV1

Answer 2

只需将多边形划分为相同大小的三角形（披萨切片），然后计算其中一个三角形（ Delta ）的中心角。 给定三角形基部（边界侧） a的长度，使用该角度计算三角形的高度。 高度等于半径。

auto radius = a / FMath::Tan(Delta / 2.0);

要计算每个“边”中点的坐标，只需使用极坐标：

例如 ：

for (unsigned i = 0; i < N; i++) {
    /* ... */
    auto x = radius * FMath::Cos(i * Delta + Delta / 2.0);
    auto y = radius * FMath::Sin(i * Delta + Delta / 2.0);
}