为什么在Bellman Ford算法中需要（节点号-1）迭代来找到最短路径？

Question

图片：4次迭代，其中（a）是原始图形。 （b），（c），（d），（e）对应于每次迭代后的结果。 “算法第三章简介”的示例

嗨，我不了解该算法的几个方面。 我希望有人可以帮忙。 以下是我的问题。

就我而言，在每次迭代中，所有边都放松。 我希望所有节点在第一次迭代中都更新距离。 那么，为什么在第一次迭代（b）中，仅更新了节点t和y的距离，而另一个仍是无穷大？

另一个问题是，为什么需要放松所有边的（节点号-1）迭代？ 在每次迭代中要保证实现什么，以便算法必须在（节点号-1）时间内运行，以确保找到最短路径，只要不存在负权重循环？

Answer 1

在第一次迭代中仅更新d[y]和d[t]的原因是，这两个顶点是唯一可以改善与s的距离的估计的顶点。 更准确地说，为了使d[v]在特定的迭代中更新，必须有一个边(u,v)使得d[u]+w(u,v)<d[v] 。 也就是说，我们必须能够改善对s到v的距离的估计，以便更新d[v] 。 在第一次迭代中，每个顶点u （ s除外）的d[u]=inf的值。 因此，如果v不是s的邻居，则u不是s ，因此d[u]+w(u,v)等于inf+w(u,v)=inf 。 这意味着我们无法改善对d[v]估计。 这就是即使算法在图形的所有边缘上进行迭代的情况下，在第一次迭代中仅更新s的邻居的原因。

至于为什么我们需要n-1次迭代，在第i次迭代后可以实现以下两个保证：

1. 如果d[u]不是inf ，则存在从s到u的长度为d[u]的路径。
2. 如果存在从s到u的路径（最多i边缘），则d[u]最多是从s到u的最短路径（最多i边缘）的长度。

从s到u的最短路径的边数不能超过n-1 （假设没有负循环）。 因此，这两个保证（可以通过对i进行归纳证明）暗示，在n-1次迭代之后，如果存在从s到u的特定长度的简单路径，则算法会找到它。