以 O(n log(log n)) 对数组进行排序

Question

我正在尝试解决以下任务：我得到了一个包含 n 个元素的数组。 众所周知，并非数组的所有键都是不同的，但假设我们有 k 个不同的元素（当然 k<=n）。 任务是在 O(n log(log n)) 最坏情况下对数组进行稳定排序，而 k=O(log n)。 我可以使用 O(n) 额外内存。

我目前的解决方案描述如下：

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创建一个大小为 k 的链式哈希表，它执行以下操作：如果哈希函数尝试将一个元素插入到已经有值的位置 - 它检查它们是否相等 - 如果相等，则将其添加到列表中, 如果不是，它开始在数组中移动，直到找到一个具有相同值的地方或一个空白空间（以先到者为准）。

这样每个地方的列表只包含具有相同键的元素。 对哈希表的插入是在原始数组中从头到尾插入的，因此每个列表都是稳定排序的。 然后使用 mergeSort 对哈希表中的数组进行排序（对于列表，我们将第一个元素视为一个并移动它）。

完成归并排序后，我们按顺序将元素复制回原始数组，每当遇到列表时，我们按顺序复制每个元素。

这是我不确定的：

是否真的说因为哈希表的大小为 k 并且我们只有 k 个不同的元素，统一哈希保证哈希函数尝试在数组中的同一位置提供不同值的时间可以忽略不计，因此它是构建的时间复杂度是 O(n)？

因为如果是这样的话，算法的运行时间似乎是 O(n + k log k) = O(n + log n*log(log n))。 这绝对比 O(n log k) 更好，这是所需的。

Answer 1

我认为您对哈希表的看法是正确的，但我认为您不应该在哈希表中插入元素，然后再次将它们复制出来。 您应该只使用哈希表来计算每个不同值的元素数。

接下来，通过按顺序遍历所有值并将前一个元素的计数添加到其起始索引，计算每个不同值的起始索引：

• 启动元件索引i =对于元素开始索引i-1 +计数元件i-1

这一步需要对哈希表中的k元素进行排序，这相当于 O(k log k) = O(log n log log n) 次操作，远小于第 1 步和第 3 步的 O(n)。

最后，再次遍历输入数组，在表中查找，并在输出数组中找到它的位置。 您复制元素，并增加其值的元素的起始索引，以便下一个元素将被复制到它之后。

如果项目的比较值是连续整数（或某个小范围内的整数），则可以使用数组而不是哈希表进行计数。

这称为计数排序。

Answer 2

与此处相同：

您创建一棵二叉树，任何树：每个节点都是一个元素列表，具有不同的键。

现在我们迭代数组，对于我们在树中搜索的每个键，搜索将使用 log(log(n))，因为树中最多有 log(n) 个不同的节点。 （如果键不存在，我们只需将其作为节点添加到树中）。

所以迭代数组需要 O(n*log(log(n))) ，因为我们给了 n 个元素。

最后，由于这是一个二叉搜索树，我们可以按顺序调用，并会得到数组的排序顺序。

剩下的就是将它们组合成一个数组。 这将花费 O(n) 时间。

所以我们得到 O(n + n log(log(n))=O(n log(log(n)))