如果数据结构是可折叠的，它是一个幺半群吗？

Question

显然，如果一个数据结构是一个幺半群，它是可折叠的，但如果数据结构是可折叠的，可以说它是一个幺半群吗？

https://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Foldable

如果数据结构是可折叠的，它是一个幺半群吗？

Answer 1

您的声明“如果数据结构是Monoid然后它是Foldable ”是不合理的。 例如：

newtype ActionList a = ActionList (IO [a])

instance Monoid (ActionList a) where
    mempty = ActionList (return [])
    ActionList a `mappend` ActionList b = ActionList (liftA2 (++) a b)

这是一个非常好的幺半群。 但由于它的所有值都在IO之下，因此您无法从Foldable观察到它们中的任何一个。 唯一Foldable实例将是总是返回空的实例（技术上这将是有效的，因为foldMap实际上没有关于其有效性的任何规律，但很难说这是一个直接面的好实例）。

你要问的相反的观点也是不正确的。 例如：

data TwoThings a = TwoThings a a

这是可折叠的：

instance Foldable TwoThings where
    foldMap f (TwoThings x y) = f x <> f y

但是，如果任何相关方式的东西都是Foldable和Monoid半群，我希望以下同态定律能够成立：

foldMap f mempty = mempty
foldMap f (a <> b) = foldMap f a <> foldMap f b

我们不能让这些法律适用于TwoThings 。 注意， foldMap (:[]) a用于TwoThings总是有两个要素。 但是第二定律左边有两个元素，右边有四个元素。 但正如dfeuer的答案所示，法律并不需要找到反例。

Answer 2

这里有Foldable的东西（甚至是Traversable ），它没有希望成为Monoid ：

{-# language EmptyCase #-}

data F a

instance Foldable F where
  foldMap _ t = case t of
  -- or, = mempty
instance Traversable F where
  traverse _ t = case t of
  -- or, = pure $ case t of

instance Semigroup (F a) where
  -- the only option
  x <> _ = x

instance Monoid (F a) where
  mempty = ????